単振動 ： 微分方程式の解法 (solution of differential equation)

角振動数 ${\displaystyle \omega }$ の単振動の従う微分方程式

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0}$     - - - (1)

の一般解を求める：  解法1  解法2  （初期値問題は ⇒）

解法1

与式は定数係数の2階同次線形微分方程式であるので，解を ${\displaystyle x=e^{\lambda t}}$ とおくと， ${\displaystyle dx/dt=\lambda e^{\lambda t}}$ ， ${\displaystyle d^{2}x/d{t}^2={\lambda }^2{e}^{\lambda t}}$ より

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x}$ ${\displaystyle ={\lambda }^2{e}^{\lambda t}+{\omega }^2{e}^{\lambda t}}$ ${\displaystyle =\left({\lambda }^2+{\omega }^2\right)e^{\lambda t}=0}$

となり， ${\displaystyle e^{\lambda t}\ne 0}$ から，特性方程式

${\displaystyle {\lambda }^2+{\omega }^2=0}$     - - - (2)

を得る．この特性方程式の解は ${\displaystyle \lambda =\pm i\omega }$ となり，それぞれ ${\displaystyle {\lambda }_1=i\omega }$ ， ${\displaystyle {\lambda }_2=-i\omega }$ とすると，式(1)の一般解は2つの独立な解 ${\displaystyle e^{{\lambda }_{1}t}}$ ， ${\displaystyle e^{{\lambda }_{2}t}}$  の線形結合

${\displaystyle x=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}}$ ${\displaystyle =c_1{e}^{i\omega t}+c_2{e}^{-i\omega t}}$    （ ${\displaystyle c_1,c_2}$ ： 任意定数（複素数））

として求まる．オイラーの公式 ${\displaystyle e^{\pm i\theta }=\cos \theta \pm i\sin \theta }$ を用いると，一般解は

と書ける．物理量 ${\displaystyle x}$ が実数であることを考えると， ${\displaystyle c_1=(A_1+i{A}_2)/2}$ ， ${\displaystyle c_2=(A_1-i{A}_2)/2}$ とおいて

${\displaystyle x=A_1\cos \omega t+A_2\sin \omega t}$    （ ${\displaystyle A_1,A_2}$ ： 任意定数（実数））     - - - (3)

が求まる（2つの独立な解として， ${\displaystyle \cos \omega t}$ ， ${\displaystyle \sin \omega t}$  を選び，それらの線形結合をとることに対応）．

また， ${\displaystyle A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}}$ ， ${\displaystyle \cos \alpha =A_1/A}$ ， ${\displaystyle \sin \alpha =-A_2/A}$ とおいて，加法定理を用いると，一般解は

${\displaystyle x=A\left(\frac{A_1}{A}\cos \omega t+\frac{A_2}{A}\sin \omega t\right)}$ ${\displaystyle =A\left(\cos \omega t\cos \alpha -\sin \omega t\sin \alpha \right)}$ ${\displaystyle =A\cos (\omega t+\alpha )}$     - - - (4)

と書ける．

解法2  ページトップ

与式に ${\displaystyle dx/dt}$ をかけて整理すると，

となるので，両辺を時刻 ${\displaystyle t}$ で積分すると

が得られる（この式は力学的エネルギー保存則を表している）．

左辺はすべて正の項なので右辺の定数も正であり， ${\displaystyle C=(1/2){\omega }^2{A}^2}$ とおく（ ${\displaystyle A}$ ：定数）．よって，

${\displaystyle \frac{1}{2}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}{\omega }^2{x}^2=\frac{1}{2}{\omega }^2{A}^2}$     ⇒     ${\displaystyle {\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2={\omega }^2\left(A^2-x^2\right)}$     ⇒     ${\displaystyle \frac{dx}{dt}=\pm \omega \sqrt{A^2-x^2}}$

となり，変数分離して両辺を積分すると

${\displaystyle \frac{\pm dx}{\sqrt{A^2-x^2}}=\omega dt}$     ⇒     ${\displaystyle \int \frac{\pm dx}{\sqrt{A^2-x^2}}=\int \omega dt}$     ⇒     ${\displaystyle \mp {\cos }^{-1}\frac{x}{A}=\omega t+\alpha }$   （ ${\displaystyle \alpha }$ ：定数）

が得られ，両辺の cos をとって ${\displaystyle A}$ をかければ，与式の一般解として

${\displaystyle x=A\cos (\omega t+\alpha )}$     - - - (5)

が求まる．ここで， ${\displaystyle \cos (-\theta )=\cos \theta }$ を用いた．

初期値問題  ページトップ

初期条件 ${\displaystyle x(0)=x_0}$ ， ${\displaystyle v(0)=v_0}$ を満たす特殊解を求める（ ${\displaystyle v(t)=dx/dt}$ ）．

一般解を  ${\displaystyle x=A_1\cos \omega t+A_2\sin \omega t}$  とした場合

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-A_1\omega \sin \omega t+A_2\omega \cos \omega t}$

初期条件より

${\displaystyle x(0)=A_1\cos 0+A_2\sin 0=A_1=x_0}$

${\displaystyle v(0)=-A_1\omega \sin 0+A_2\omega \cos 0}$ ${\displaystyle =A_2\omega =v_0}$     ⇒     ${\displaystyle A_2=\frac{v_0}{\omega }}$

なので，初期条件を満たす解は次式となる．

${\displaystyle x=x_0\cos \omega t+\frac{v_0}{\omega }\sin \omega t}$     - - - (6)

一般解を  ${\displaystyle x=A\cos (\omega t+\alpha )}$  とした場合

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-A\omega \sin (\omega t+\alpha )}$

初期条件より

${\displaystyle x(0)=A\cos (0+\alpha )=A\cos \alpha =x_0}$

${\displaystyle v(0)=-A\omega \sin (0+\alpha )}$ ${\displaystyle =-A\omega \sin \alpha =v_0}$     ⇒     ${\displaystyle A\sin \alpha =-\frac{v_0}{\omega }}$

なので，任意定数 ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle \alpha }$ は

${\displaystyle A^2={(A\cos \alpha )}^2+{(A\sin \alpha )}^2}$ ${\displaystyle =x_0^2+{\left(-\frac{v_0}{\omega }\right)}^2=x_0^2+\frac{v_0^2}{{\omega }^2}}$     - - - (7)

${\displaystyle \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{v_0}{\omega }}{x_0}=-\frac{v_0}{x_0\omega }}$      ${\displaystyle (x_0\ne 0)}$     - - - (8)

を満たすように決定する（ ${\displaystyle x_0=0}$ のときは， ${\displaystyle \cos \alpha =0}$ を満たす ${\displaystyle \alpha }$ を考えればよい ）．

この場合， ${\displaystyle A}$ については正負の， ${\displaystyle \alpha }$ については ${\displaystyle n\pi }$ （ ${\displaystyle n}$ ：整数）の任意性が残っているが， ${\displaystyle A>0}$ と制限すると，

${\displaystyle A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{{\omega }^2}}}$     - - - (9)

であり， ${\displaystyle \alpha }$ については，次の2式

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{x_0}{A}=\frac{x_0\omega }{\sqrt{{(x_0\omega )}^2+v_0^2}}}$   ，   ${\displaystyle \sin \alpha =-\frac{v_0}{A\omega }=-\frac{v_0}{\sqrt{{(x_0\omega )}^2+v_0^2}}}$     - - - (10)

を同時に満たすように ${\displaystyle -\pi <\alpha \le \pi }$ の範囲内で考えれば，一意的に決まる．

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最終更新日：2026年9月25日