単振動 ： 微分方程式の解法 (solution of differential equation)
角振動数
ω
の単振動の従う微分方程式
d2
x
d
t2
+
ω2
x
=0
- - - (1)
の一般解を求める： 解法1 解法2 （初期値問題は ⇒）
解法1
与式は定数係数の2階同次線形微分方程式であるので，解を
x=
e
λt
とおくと，
dx
/
dt
=λ
eλt
，
d2
x
/
d
t2
=
λ2
eλt
より
d2
x
d
t2
+
ω2
x
=
λ2
eλt
+
ω2
eλt
=
(
λ2
+
ω2
)
eλt
=0
となり，
eλt
≠0
から，特性方程式
λ2
+
ω2
=0
- - - (2)
を得る．この特性方程式の解は
λ=±iω
となり，それぞれ
λ1
=iω
，
λ2
=−iω
とすると，式(1)の一般解は2つの独立な解
eλ1t
，
eλ2t
の線形結合
x=
c1
eλ1t
+
c2
eλ2t
=
c1
eiωt
+
c2
e−iωt
（
c1
,
c2
： 任意定数（複素数））
として求まる．オイラーの公式
e±iθ
=
cosθ±isinθ
を用いると，一般解は
x=
c1
(
cosωt+isinωt
)
+
c2
(
cosωt−isinωt
)
=(
c1
+
c2
)cosωt
+i
(
c1
−
c2
)sinωt
と書ける．物理量
x
が実数であることを考えると，
c1
=
(
A1
+i
A2
)
/2
，
c2
=
(
A1
−i
A2
)
/2
とおいて
x=
A1
cosωt
+
A2
sinωt
（
A1
,
A2
： 任意定数（実数））
- - - (3)
が求まる（2つの独立な解として，
cosωt
，
sinωt
を選び，それらの線形結合をとることに対応）．
また，
A=
A12
+
A22
，
cosα=
A1
/A
，
sinα=−
A2
/A
とおいて，加法定理を用いると，一般解は
x=A
(
A1
A
cosωt
+
A2
A
sinωt
)
=A
(
cosωtcosα
−
sinωtsinα
)
=Acos
(ωt+α)
- - - (4)
と書ける．
解法2 ページトップ
与式に
dx
/
dt
をかけて整理すると，
dx
dt
(
d2
x
d
t2
+
ω2
x
)
=
dx
dt
d2
x
d
t2
+
ω2
x
dx
dt
=
12
d
dt
{
(
dx
dt
)
2
}
+
12
ω2
d
dt
{x2}
=0
となるので，両辺を時刻
t
で積分すると
12
∫
ddt
{
(
dx
dt
)
2
}
dt
+
12
ω2
∫
ddt
{
x2
}
dt
=
12
(
dx
dt
)
2
+
12
ω2
x2
=C
（定数）
が得られる（この式は力学的エネルギー保存則を表している）．
左辺はすべて正の項なので右辺の定数も正であり，
C=
(1/2)
ω2
A2
とおく（
A
：定数）．よって，
12
(
dx
dt
)
2
+
12
ω2
x2
=
12
ω2
A2
⇒
(
dx
dt
)
2
=
ω2
(
A2
−
x2
)
⇒
dx
dt
=
±ω
A2
−
x2
となり，変数分離して両辺を積分すると
±dx
A2
−
x2
=ωdt
⇒
∫
±dx
A2
−
x2
=
∫ωdt
⇒
∓
cos−1
xA
=
ωt+α
（
α
：定数）
が得られ，両辺の cos をとって
A
をかければ，与式の一般解として
x=Acos
(ωt+α)
- - - (5)
が求まる．ここで，
cos(−θ)
=cosθ
を用いた．
初期値問題 ページトップ
初期条件
x(0)=
x0
，
v(0)=
v0
を満たす特殊解を求める（
v(t)=
dx/
dt
）．
一般解を
x=
A1
cosωt
+
A2
sinωt
とした場合
v=
dx
dt
=−
A1
ωsinωt
+
A2
ωcosωt
初期条件より
x(0)
=
A1cos0
+
A2sin0
=
A1
=
x0
v(0)
=−
A1ωsin0
+
A2ωcos0
=
A2ω
=
v0
⇒
A2
=
v0
ω
なので，初期条件を満たす解は次式となる．
x=
x0
cosωt
+
v0
ω
sinωt
- - - (6)
一般解を
x=Acos
(ωt+α)
とした場合
v=
dx
dt
=−Aωsin
(ωt+α)
初期条件より
x(0)
=
Acos
(0+α)
=
Acosα
=
x0
v(0)
=
−Aωsin
(0+α)
=
−Aωsinα
=
v0
⇒
Asinα=−
v0
ω
なので，任意定数
A
，
α
は
A2
=
(Acosα)
2
+
(Asinα)
2
=
x02
+
(
−
v0
ω
)2
=
x02
+
v02
ω2
- - - (7)
tanα
=
sinα
cosα
=
−
v0
ω
x0
=
−
v0
x0
ω
(
x0
≠0
)
- - - (8)
を満たすように決定する（
x0
=0
のときは，
cosα=0
を満たす
α
を考えればよい
）．
この場合，
A
については正負の，
α
については
nπ
（
n
：整数）の任意性が残っているが，
A>0
と制限すると，
A=
x02
+
v02
ω2
- - - (9)
であり，
α
については，次の2式
cosα=
x0
A
=
x0ω
(
x0ω
)
2
+
v02
，
sinα=−
v0
Aω
=−
v0
(
x0ω
)
2
+
v02
- - - (10)
を同時に満たすように
−π<α≤π
の範囲内で考えれば，一意的に決まる．
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