速度 (velocity)

時刻 ${\displaystyle t}$ における質点の位置を ${\displaystyle \mathit{r}(t)}$ とし，時刻 ${\displaystyle t}$ から ${\displaystyle t+\Delta t}$ の間に，質点の位置が ${\displaystyle \mathit{r}(t)}$ から ${\displaystyle \mathit{r}(t+\Delta t)}$ に変化したとする．このとき，時刻 ${\displaystyle t}$ から ${\displaystyle t+\Delta t}$ の間の質点の平均速度 (average velocity) は

${\displaystyle \overline{\mathit{v}}=\frac{\mathit{r}(t+\Delta t)-\mathit{r}(t)}{t+\Delta t-t}}$ ${\displaystyle =\frac{\Delta \mathit{r}}{\Delta t}}$     ---(1)

と表せる．つまり，時刻 ${\displaystyle t}$ から ${\displaystyle t+\Delta t}$ の間の質点の変位 ${\displaystyle \Delta \mathit{r}=\mathit{r}(t+\Delta t)-\mathit{r}(t)}$ を時間 ${\displaystyle \Delta t}$ で割ったものである．式(1)において ${\displaystyle \Delta t\to 0}$ の極限をとると，時刻 ${\displaystyle t}$ における (瞬間)速度 ((instant) velocity)

${\displaystyle \mathit{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\overline{\mathit{v}}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \mathit{r}}{\Delta t}=\frac{d\mathit{r}}{dt}}$     ---(2)

が求まる．

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