平面の極座標(円座標 :circular coordinates

2次元平面において,動径座標 r と角度座標 θ を用いて任意の点の位置を指定するとき, (r,θ) 平面の極座標(polar coordinates) もしくは円座標(circular coordinates) という.

図のように,平面の直交座標において,原点 O から点 P までの動径の距離を r +x 軸から測った動径の角度を θ とすると,平面の極座標 (r,θ) と平面の直交座標 (x,y) との間には

x=rcosθ     - - - (1)
y=rsinθ     - - - (2)

の関係がある.

0r< 及び π<θπ の範囲を考えると,平面上の任意の点を一意的に指定できるが,原点 (x,y) = (0,0) は角度が定まらず特異点 (r,θ) = (0,θ) となる.また, π<θπ の場合には,平面の直交座標から平面の極座標への変換が

r= x2+y2     - - - (3)
θ= sgn(y) cos1 ( x x2+y2 )     - - - (4)

で与えられる.式(4)における sgn は以下に示す符号関数である( y0 ならプラス, y<0 ならマイナスの符号がつく):

sgn(y)= 1 (y0) 1 (y<0)

ただし,原点は特異点であり,式(4)の逆余弦関数において分母がゼロとなるため角度が定義できない.


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