平面の極座標（円座標 ：circular coordinates）

2次元平面において，動径座標 ${\displaystyle r}$ と角度座標 ${\displaystyle \theta }$ を用いて任意の点の位置を指定するとき， ${\displaystyle (r,\theta )}$ を平面の極座標(polar coordinates) もしくは円座標(circular coordinates) という．

図のように，平面の直交座標において，原点 ${\displaystyle \text{O}}$ から点 ${\displaystyle \text{P}}$ までの動径の距離を ${\displaystyle r}$ ， ${\displaystyle +x}$ 軸から測った動径の角度を ${\displaystyle \theta }$ とすると，平面の極座標 ${\displaystyle (r,\theta )}$ と平面の直交座標 ${\displaystyle (x,y)}$ との間には

${\displaystyle x=r\cos \theta }$     - - - (1)
${\displaystyle y=r\sin \theta }$     - - - (2)

の関係がある．

${\displaystyle 0\le r<\infty }$ 及び ${\displaystyle -\pi <\theta \le \pi }$ の範囲を考えると，平面上の任意の点を一意的に指定できるが，原点 ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ は角度が定まらず特異点 ${\displaystyle (r,\theta )=(0,\theta )}$ となる．また， ${\displaystyle -\pi <\theta \le \pi }$ の場合には，平面の直交座標から平面の極座標への変換が

${\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}}$     - - - (3)
${\displaystyle \theta =\mathrm{sgn}(y){\cos }^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)}$     - - - (4)

で与えられる．式(4)における ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$ は以下に示す符号関数である（ ${\displaystyle y\ge 0}$ ならプラス， ${\displaystyle y<0}$ ならマイナスの符号がつく）：

${\displaystyle \mathrm{sgn}(y)=\left\{\begin{array}{cc}1& (y\ge 0)\\ -1& (y<0)\end{array}\right.}$

ただし，原点は特異点であり，式(4)の逆余弦関数において分母がゼロとなるため角度が定義できない．

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