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円柱座標(円筒座標)(cylindrical coordinates)

円柱座標(円筒座標)
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2次元の xy 平面における円座標の原点に,この平面と垂直に z 軸をとり, xy 平面上の動径座標 r ,角度座標 θ および z 座標を用いて3次元空間の任意の点の位置を指定するとき, (r,θ,z) 円柱座標(円筒座標)(cylindrical coordinates) という.ある一定の値の動径座標 r に対する点 (r,θ,z) の集合は, z 軸を円筒軸とする円筒を描く.

円柱座標 (r,θ,z) と3次元空間の直交座標 (x,y,z) との間には

x=rcosθ     - - - (1)
y=rsinθ     - - - (2)
z=z     - - - (3)

の関係がある.

平面における円座標と同様に, z 軸上の任意の点 (x,y,z) = (0,0,z) においては角度が定まらず特異点 (r,θ,z) = (0,θ,z) となる.また, π<θπ の場合には,直交座標から円柱座標への変換が

r= x2+y2     - - - (4)
θ= sgn(y) cos1 ( x x2+y2 )     - - - (5)
z=z     - - - (6)

で与えられる.式(5)における sgn は以下に示す符号関数である:

sgn(y)= 1 (y0) 1 (y<0)

また, z 軸上の点は特異点であり,式(5)の逆余弦関数において分母がゼロとなるため角度が定義できない.


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