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3次元の極座標(球座標)(spherical coordinates)

3次元の極座標(球座標)
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3次元空間において,動径座標 r と2つの角度座標 θ , ϕ を用いて任意の点の位置を指定するとき, (r,θ,ϕ) 3次元の極座標(polar coordinates) もしくは球座標(spherical coordinates) という.ある一定の値の動径座標 r に対する点 (r,θ,ϕ) の集合は,原点を中心とする半径 r の球面を描く.

図のように,原点 O から点 P までの距離を r ,動径と z 軸とのなす角を θ xy 平面への動径の射影(長さ: rsinθ )と x 軸とのなす角を ϕ とする.極座標 (r,θ,ϕ) と3次元空間の直交座標 (x,y,z) との間には

x=rsinθcosϕ     - - - (1)
y=rsinθsinϕ     - - - (2)
z=rcosθ     - - - (3)

の関係がある.動径座標 r の範囲は 0r< であり,2つの角度座標 θ , ϕ の範囲は各々, 0θπ π<ϕπ (または 0ϕ<2π )である.

平面における円座標と同様に,原点 (x,y,z) = (0,0,0) においては角度 θ , ϕ が定まらず特異点 (r,θ,ϕ) = (0,θ,ϕ) となる.また,直交座標 (x,y,z) から極座標 (r,θ,ϕ) への変換は

r= x2+y2+z2     - - - (4)
θ= cos1 ( z x2+y2+z2 )     - - - (5)
ϕ= sgn(y) cos1 ( x x2+y2 )     - - - (6)

で与えられる.式(6)における sgn は以下に示す符号関数である:

sgn(y)= 1 (y0) 1 (y<0)

また,原点は特異点であり,式(5)(6)の逆余弦関数において分母がゼロとなるため角度が定義できない.

ϕ の範囲が 0ϕ<2π のとき,式(6)は

ϕ= sgn(y) cos1 ( x x2+y2 ) +π (1sgn(y))     - - - (7)

となる.


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