ベクトルの分解 (decomposition of vector)

任意の空間ベクトル ${\displaystyle \mathit{A}}$ は，ある単位ベクトル ${\displaystyle \mathit{n}}$ を用いて，

${\displaystyle A=n(A\cdot n)+n\times (A\times n)}$

のように2つのベクトルに分解できる．右辺第1項目は ${\displaystyle \mathit{n}}$ に平行なベクトルで，右辺第2項目は ${\displaystyle \mathit{n}}$ に垂直なベクトルである．

[証明]

${\displaystyle A\times (B\times C)=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C}$ （※） より

${\displaystyle n\times (A\times n)=(n\cdot n)A-(n\cdot A)n}$ ${\displaystyle =A-n(n\cdot A)}$

なので，与式は成り立つ．ここで， ${\displaystyle n\cdot n=n^2=1}$ を用いた．

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