クロネッカーのデルタ (Kronecker delta)

離散的な2つの値 ${\displaystyle i}$ , ${\displaystyle j}$ に対して

${\displaystyle {\delta }_{ij}=\left\{\begin{array}{c}1\text{for}i=j\\ 0\text{for}i\ne j\end{array}\right.}$      --- (1)

を満たす関数 ${\displaystyle {\delta }_{ij}}$ を クロネッカーのデルタ (Kronecker delta) という．ディラックのデルタ関数と同様の性質として

${\displaystyle {\displaystyle \sum _i{a}_i{\delta }_{ij}}=a_j}$      --- (2)

が成り立ち，集合 ${\displaystyle \left\{a_i\right\}}$ から ${\displaystyle i=j}$ の成分 ${\displaystyle a_j}$ を取り出す役割を果たす．

また，${\displaystyle (i,j)}$ 成分が ${\displaystyle {\delta }_{ij}}$ の行列は単位行列である．式(2)は，行ベクトル ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right)}$ に右から単位行列 ${\displaystyle \left({\delta }_{ij}\right)}$ をかけても，ベクトル ${\displaystyle a}$ のままであることを示している．

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