デルタ関数の公式1

ディラックのデルタ関数 ${\displaystyle \delta (x)}$ について， ${\displaystyle a\ne 0}$ に対して以下の式が成り立つ．

${\displaystyle \delta (ax)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta (x)}$

【導出】

${\displaystyle a>0}$ の場合， ${\displaystyle \epsilon >0}$ とする以下の積分において ${\displaystyle u=ax}$ とおく置換積分を用いると

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)\delta (ax)dx}={\displaystyle {\int }_{-a\epsilon }^{a\epsilon }f\left(\frac{u}{a}\right)\delta (u)\frac{1}{a}du}}$

${\displaystyle \phantom{{\int }_{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)\delta (ax)dx}=\frac{1}{a}f\left(\frac{0}{a}\right)=\frac{1}{a}f(0)}$

${\displaystyle \phantom{{\int }_{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)\delta (ax)dx}=\frac{1}{a}{\displaystyle {\int }_{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)\delta (x)dx}}$

${\displaystyle \phantom{{\int }_{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)\delta (ax)dx}={\displaystyle {\int }_{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)\left\{\frac{1}{a}\delta (x)\right\}dx}}$

が成り立つ．次に， ${\displaystyle a<0}$ の場合，

が成り立つ．したがって，形式的に

${\displaystyle \delta (ax)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta (x)}$

と表せる．また，${\displaystyle x=c}$（定数）を含む区間での積分を考えると，次式も成り立つ．

${\displaystyle \delta (a(x-c))=\frac{1}{\left|a\right|}\delta (x-c)}$

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