デルタ関数の公式2

ディラックのデルタ関数 $δ (x)$ について，方程式 $g (x) = 0$ に関して1つ以上の実数解をもち，連続でなめらかな関数 $g (x)$ に対し，以下の式が成り立つ．

$δ (g (x)) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{| g^{'} (c_{i}) |} δ (x - c_{i})$

ここで， $g^{'} (c_{i}) \neq 0$ であり， $c_{i}$ は方程式 $g (x) = 0$ の $i$ 番目の実数解を表す（ $i = 1 \sim n$ ）．

【導出】

方程式 $g (x) = 0$ の $n$ 個の実数解 $x = c_{i}$ （ $i = 1 \sim n$ ）を含む区間 $D$ における積分

$\int_{D} f (x) δ (g (x)) d x$

について， $ε > 0$ を微小量として，以下のように各々の解 $x = c_{i}$ の近傍（ $c_{i} - ε \leq x \leq c_{i} + ε$ ）における積分に分割する．

$\int_{D} f (x) δ (g (x)) d x = \sum_{i = 1}^{n} \int_{c_{i} - ε}^{c_{i} + ε} f (x) δ (g (x)) d x$

右辺の各々の積分について， $u = g (x)$ とおく置換積分を用いると， $d x = \frac{1}{g^{'} (g^{- 1} (u))} d u$ より

$\int_{c_{i} - ε}^{c_{i} + ε} f (x) δ (g (x)) d x = \int_{g (c_{i} - ε)}^{g (c_{i} + ε)} f (g^{- 1} (u)) δ (u) \frac{1}{g^{'} (g^{- 1} (u))} d u$

となる．ここで， $x = c_{i}$ での接線の傾き $g^{'} (c_{i})$ が正の場合（ $g^{'} (c_{i}) > 0$ ）， $g (c_{i} - ε) < g (c_{i} + ε)$ なので，

$\int_{g (c_{i} - ε)}^{g (c_{i} + ε)} f (g^{- 1} (u)) δ (u) \frac{1}{g^{'} (g^{- 1} (u))} d u = \frac{1}{g^{'} (c_{i})} f (c_{i})$

$= \frac{1}{g^{'} (c_{i})} \int_{c_{i} - ε}^{c_{i} + ε} f (x) δ (x - c_{i}) d x$

$= \int_{D} f (x) \{\frac{1}{g^{'} (c_{i})} δ (x - c_{i})\} d x$

が成り立つ．次に， $g^{'} (c_{i})$ が負の場合（ $g^{'} (c_{i}) < 0$ ）， $g (c_{i} - ε) > g (c_{i} + ε)$ なので，

$\int_{g (c_{i} - ε)}^{g (c_{i} + ε)} f (g^{- 1} (u)) δ (u) \frac{1}{g^{'} (g^{- 1} (u))} d u = - \int_{g (c_{i} + ε)}^{g (c_{i} - ε)} f (g^{- 1} (u)) δ (u) \frac{1}{g^{'} (g^{- 1} (u))} d u$

$= - \frac{1}{g^{'} (c_{i})} f (c_{i})$

$= \frac{1}{| g^{'} (c_{i}) |} \int_{c_{i} - ε}^{c_{i} + ε} f (x) δ (x - c_{i}) d x$

$= \int_{D} f (x) \{\frac{1}{| g^{'} (c_{i}) |} δ (x - c_{i})\} d x$

が成り立つ．したがって

$\int_{D} f (x) δ (g (x)) d x = \sum_{i = 1}^{n} \int_{c_{i} - ε}^{c_{i} + ε} f (x) δ (g (x)) d x$

$= \int_{D} f (x) \{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{| g^{'} (c_{i}) |} δ (x - c_{i})\} d x$

となり，形式的に

$δ (g (x)) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{| g^{'} (c_{i}) |} δ (x - c_{i})$

と表せる．

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