慣性抵抗を受けて運動する物体

${\displaystyle \left(1\right)}$ より ${\displaystyle -\frac{1}{v^2}\frac{dv}{dt}=\frac{b}{m}}$ であり，両辺を ${\displaystyle t}$ で積分すると

   ${\displaystyle -\int \frac{1}{v^2}\frac{dv}{dt}dt=\int \frac{b}{m}dt}$    ${\displaystyle \Rightarrow -\int \frac{1}{v^2}dv=\frac{b}{m}\int dt}$    ${\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{v}=\frac{b}{m}t+C}$    （ ${\displaystyle C}$ ：積分定数）

となり，一般解は次式となる．

   ${\displaystyle v\left(t\right)=\frac{1}{\frac{b}{m}t+C}}$

初期条件 ${\displaystyle v\left(0\right)=v_0}$ より

   ${\displaystyle v\left(0\right)=\frac{1}{C}=v_0}$    ${\displaystyle \Rightarrow C=\frac{1}{v_0}}$

となり，特殊解として   ${\displaystyle v\left(t\right)=\frac{1}{\frac{b}{m}t+\frac{1}{v_0}}=\frac{v_0}{1+\frac{b{v}_0}{m}t}}$   が求まる．

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${\displaystyle \left(2\right)}$ で求めた速度 ${\displaystyle v\left(t\right)=\frac{v_0}{1+\frac{b{v}_0}{m}t}}$ より

   ${\displaystyle x\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt}$ ${\displaystyle =\int \frac{v_0}{1+\frac{b{v}_0}{m}t}dt}$ ${\displaystyle =\frac{m}{b}\ln \left(1+\frac{b{v}_0}{m}t\right)+C}$    （ ${\displaystyle C}$ ：積分定数）

となり，初期条件 ${\displaystyle x\left(0\right)=x_0}$ より

   ${\displaystyle x\left(0\right)=\frac{m}{b}\ln 1+C=C=x_0}$

よって，次式を得る．

   ${\displaystyle x\left(t\right)=\frac{m}{b}\ln \left(1+\frac{b{v}_0}{m}t\right)+x_0}$

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