加速度 (acceleration)

○ 平均の加速度

直線上を運動する物体の，時刻 ${\displaystyle t_1〔\text{s}〕}$ での速度を ${\displaystyle v_1〔\text{m}/\text{s}〕}$，時刻 ${\displaystyle t_2〔\text{s}〕}$ での速度を ${\displaystyle v_2〔\text{m}/\text{s}〕}$とすると，この間の速度の平均変化率を平均の加速度といい，

${\displaystyle \overline{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}}$

${\displaystyle \Delta v=v_2-v_1}$ ， ${\displaystyle \Delta t=t_2-t_1}$

で表される．平均の加速度 ${\displaystyle \overline{a}〔\text{m}/{\text{s}}^2〕}$ は右図の点Pと点Qを結ぶ直線の傾きを表す．

○ 加速度（瞬間の加速度）

上の平均の加速度の式において， ${\displaystyle t_2}$ を ${\displaystyle t_1}$ に限りなく近づける，つまり ${\displaystyle \Delta t}$ を限りなくゼロに近づけると， ${\displaystyle \overline{a}〔\text{m}/{\text{s}}^2〕}$ は時刻 ${\displaystyle t_1〔\text{s}〕}$ における加速度(瞬間の加速度)

${\displaystyle a(t_1)=\underset{t_2\to t_1}{\lim }\overline{a}=\underset{t_2\to t_1}{\lim }\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta t}}$

となる．つまり，速度 ${\displaystyle v(t)〔\text{m}/\text{s}〕}$ の時刻 ${\displaystyle t=t_1〔\text{s}〕}$ における微分係数に対応し，時刻 ${\displaystyle t_1〔\text{s}〕}$ における瞬間の加速度 ${\displaystyle a(t_1)〔\text{m}/{\text{s}}^2〕}$ は右図の点Pにおける接線の傾きを表す．

したがって，任意の時刻${\displaystyle t〔\text{s}〕}$ における加速度は，速度 ${\displaystyle v(t)〔\text{m}/\text{s}〕}$ の導関数として

${\displaystyle a(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}}$

で与えられる．

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学生スタッフ作成

2019年12月9日