接線の方程式

曲線$y=f\left(x\right)$上の点$\text{P}$ $\left(a,f\left(a\right)\right)$における接線の方程式は

$y=f^{\prime }\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$

となる．

■導出

点$\text{P}$を通り，直線の傾きが$m$の直線の方程式は，原点を通る傾きが $m$ の直線

$y=mx$

を，$x$軸方向に$a$，$y$ 軸方向に${\displaystyle f\left(a\right)}$ 平行移動したものになるので

${\displaystyle y-f\left(a\right)=m\left(x-a\right)}$

${\displaystyle y=m\left(x-a\right)+f\left(a\right)}$

となる．

点$\text{P}$における接線の傾きは，${\displaystyle x=a}$ での${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ の微分係数 ${\displaystyle f^{\prime }\left(a\right)}$ になるので

$m=f^{\prime }\left(a\right)$

となる．したがって，接線の方程式は

$y=f^{\prime }\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$

となる．

■具体例

円の接線　楕円の接線

 

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最終更新日： 2023年9月16日