質量
m [kg]
の質点が
z
軸の周りを半径
r [m]
の円軌道を描いて回転するとき,
z
軸のまわりの慣性モーメント
I
は次式となる.
I=mr2
今回の問題のように連続体の慣性モーメントを求める場合,図のように棒を細分化し,微小部分(微小質量
dm)の集合体として考える.それぞれの微小部分の
z
軸からの距離を
x(0≤x≤l)
としたとき,距離
x
の位置にある微小部分の,
z
軸のまわりの微小慣性モーメント
dI
は,
dI=x2dm
となる.この一様な棒の線密度(単位長さ当たりの質量)を
λ
とすると
dm
は微小長さ
dx×
線密度
λ
で表せる.棒の
質量は
M
,長さは
l
なので,この棒の線密度は,
λ=Ml [kg/m]
となるので,微小質量は
dm=λdx =Mldx
となる.棒の慣性モーメントは,この微小慣性モーメント
dI
を
x
が0から
l
まで足し合わせる(積分する)ことで求められる.したがって
I=∫dI=∫x2dm=∫l0x2Mldx=Ml[x33]l0=Ml(l33−03)=Ml23
を得る.
閉じる