斜面を転がる剛体球

$(2)$ 重心の運動方程式を書け（これを①とする）．

$M A = M g \sin 30 ° - F$ ・・・①

球にはたらく重力を加速度の方向と，それに垂直な方向とに分解すると図3のようになる．
加速度の方向に働く力は $M g \sin 30 ° [N]$ と $F [N]$ である．
よって運動方程式は $M A = M g \sin 30 ° - F$ になる．

$(3)$ 回転運動の方程式を書け（これを②とする）．

$I α = R F$ ・・・②

回転運動の方程式は， $I α = T$ で与えられ， $T$ はトルク $[N \cdot m]$ である．トルクとは，物体に回転運動を生じさせる回転軸の周りの力のモーメントのことで，今の場合 $T = R F$ である．

$(4)$ $A = R α \dots$ ③ を用いて，設問 $(2)$ ， $(3)$ の解答の2式①②から $F$ と $α$ を消去して球の重心の加速度 $A$ を求めよ．

$A = \frac{g}{2 (1 + \frac{I}{M R^{2}})} [{m/s}^{2}]$

②，③から $α$ を消去して $F = \frac{I A}{R^{2}}$
これを①に代入して
$M A = \frac{M g}{2} - \frac{I A}{R^{2}}, M A + \frac{I A}{R^{2}} = \frac{M g}{2}, (M + \frac{I}{R^{2}}) A = \frac{M g}{2}$
$A = \frac{M g}{2 (M + \frac{I}{R^{2}})} = \frac{g}{2 (1 + \frac{I}{M R^{2}})} [{m/s}^{2}]$

$(5)$ 球の慣性モーメント $I = 2 M R^{2} / 5$ ・・・④ を用いて，球の重心の加速度 $A$ を数値と $g$ だけを用いて表せ．

$A = \frac{5}{14} g [{m/s}^{2}]$

$A = \frac{g}{2 (1 + \frac{I}{M R^{2}})} = \frac{g}{2 (1 + \frac{2 M R^{2}}{5 M R^{2}})} = \frac{g}{2 (1 + \frac{2}{5})} = \frac{g}{2 \cdot \frac{7}{5}} = \frac{5}{14} g [{m/s}^{2}]$

$(6)$ 球が回転しないで斜面を滑った場合と，球が回転して斜面を転がった場合では，どちらがはやく落下するか．適切な選択肢を選べ．

球が回転しないで斜面を滑った場合
球が回転して斜面を転がった場合
どちらも同じ

球が回転しない場合を考える．このとき $α = 0$ だから，②より $I \times 0 = R F$ となり， $F = 0$ である．これを①に代入すると $M A = M g \sin 30 ° - F = \frac{1}{2} M g$ となり， $A = \frac{1}{2} g [m / s^{2}]$ である．これは $A = \frac{5}{14} g [{m/s}^{2}]$ より大きいので答えは「球が回転しないで斜面を滑った場合」である．