細い棒の一端を回転軸としたときの慣性モーメント

質量 ${\displaystyle m\left[\text{kg}\right]}$ の質点が ${\displaystyle z}$ 軸の周りを半径 ${\displaystyle r\left[\text{m}\right]}$ の円軌道を描いて回転するとき， ${\displaystyle z}$ 軸のまわりの慣性モーメント ${\displaystyle I}$ は次式となる．

${\displaystyle I=m{r}^2}$

今回の問題のように連続体の慣性モーメントを求める場合，図のように棒を細分化し，微小部分（微小質量 ${\displaystyle dm}$）の集合体として考える．それぞれの微小部分の ${\displaystyle z}$ 軸からの距離を ${\displaystyle x}$${\displaystyle \left(0\le x\le l\right)}$ としたとき，距離 ${\displaystyle x}$ の位置にある微小部分の，${\displaystyle z}$ 軸のまわりの微小慣性モーメント ${\displaystyle dI}$ は，

${\displaystyle dI=x^{2}dm}$

となる．この一様な棒の線密度（単位長さ当たりの質量）を ${\displaystyle \lambda }$ とすると ${\displaystyle dm}$ は微小長さ ${\displaystyle dx\times }$ 線密度 ${\displaystyle \lambda }$ で表せる．棒の質量は ${\displaystyle M}$ ，長さは ${\displaystyle l}$ なので，この棒の線密度は，

${\displaystyle \lambda =\frac{M}{l}\left[\text{kg/m}\right]}$

となるので，微小質量は

${\displaystyle \begin{array}{l}dm=\lambda dx\hfill \\ =\frac{M}{l}dx\hfill \end{array}}$

となる．棒の慣性モーメントは，この微小慣性モーメント ${\displaystyle dI}$ を ${\displaystyle x}$ が０から ${\displaystyle l}$ まで足し合わせる（積分する）ことで求められる．したがって

${\displaystyle I=\int dI=\int x^{2}dm={\displaystyle {\int }_0^l{x}^2\frac{M}{l}dx}=\frac{M}{l}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^l=\frac{M}{l}\left(\frac{l^3}{3}-\frac{0}{3}\right)=\frac{M{l}^2}{3}}$

を得る．

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