二等辺三角形の薄板の慣性モーメント

薄板の面積が ${\displaystyle S=ab}$ なので，面密度 ${\displaystyle s}$ は

${\displaystyle s=\frac{M}{S}=\frac{M}{ab}}$

である．

右図のように ${\displaystyle y}$ 軸方向に微小な幅 ${\displaystyle dy}$ で分割すると， ${\displaystyle y}$ 軸方向の位置が ${\displaystyle y}$ である微小部分の質量 ${\displaystyle dm}$ は

${\displaystyle dm=s\times \frac{2a}{b}y\times dy=\frac{2M}{b^2}ydy}$

である．よって ${\displaystyle x}$ 軸まわりの慣性モーメントは

${\displaystyle I_x={\displaystyle {\int }_M{y}^{2}dm={\displaystyle {\int }_0^b{y}^2\times }}\frac{2M}{b^2}ydy}$

${\displaystyle =\frac{2M}{b^2}{\displaystyle {\int }_0^b{y}^{3}dy}=\frac{2M}{b^2}{\left[\frac{1}{4}{y}^4\right]}_0^b}$

${\displaystyle =\frac{2M}{b^2}\times \frac{b^4}{4}=\frac{M{b}^2}{2}}$

となる．


右図のように ${\displaystyle x}$ 軸方向に微小な幅 ${\displaystyle dx}$ で分割すると， ${\displaystyle x}$ 軸方向の位置が ${\displaystyle x}$ である微小部分の質量 ${\displaystyle dm}$ は

${\displaystyle dm=s\times \left(b-\frac{b}{a}\left|x\right|\right)\times dx=\frac{M}{a^2}\left(a-\left|x\right|\right)dx}$

である．よって ${\displaystyle y}$ 軸まわりの慣性モーメントは

${\displaystyle I_y={\displaystyle {\int }_M{x}^{2}dm={\displaystyle {\int }_{-a}^a{x}^2\times }}\frac{M}{a^2}\left(a-\left|x\right|\right)dx}$

${\displaystyle =\frac{2M}{a^2}{\displaystyle {\int }_0^a\left(a{x}^2-x^3\right)dx}=\frac{2M}{a^2}{\left[\frac{1}{3}a{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4\right]}_0^a}$

${\displaystyle =\frac{2M}{a^2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)a^4=\frac{2M{a}^2}{12}=\frac{M{a}^2}{6}}$

となる．

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