円板の慣性モーメント1

薄い円板の面密度を ${\displaystyle \sigma }$ とすると，円板の面積は ${\displaystyle S=\pi R^2}$ なので

${\displaystyle \sigma =\frac{M}{\pi R^2}}$

である．図のように，この円板を ${\displaystyle x}$ 軸方向に微小幅 ${\displaystyle dx}$ の細長い長方形に分割する．中心が原点 ${\displaystyle \text{O}}$ で半径 ${\displaystyle R}$ の円の方程式 ${\displaystyle x^2+y^2=R^2}$ より，${\displaystyle -R\le x\le R}$ の範囲における位置 ${\displaystyle x}$ での微小幅の長方形の長さは ${\displaystyle 2\sqrt{R^2-x^2}}$ なので，この長方形の微小面積 ${\displaystyle dS}$ は

${\displaystyle dS=2\sqrt{R^2-x^2}\cdot dx}$

である．よって，この部分の微小質量が

${\displaystyle dm=\sigma \cdot dS}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2}dx}$

となる．この長方形の回転半径は ${\displaystyle \left|x\right|}$ であるので，回転軸周りの微小慣性モーメントは

${\displaystyle dI={\left|x\right|}^{2}dm}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{\pi R^2}{x}^2\sqrt{R^2-x^2}dx}$

と表せる．したがって，求める慣性モーメントは

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_{D}dI}}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{\pi R^2}{\displaystyle {\int }_{-R}^R{x}^2\sqrt{R^2-x^2}dx}}$

となる．ここで，${\displaystyle x=R\sin \theta }$ と置くような置換積分を考えると，${\displaystyle \theta }$ についての積分範囲は

${\displaystyle x}$	${\displaystyle -R\to R}$
${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle -\frac{\pi }{2}\to \frac{\pi }{2}}$

となり，形式的に

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=\frac{d}{d\theta }R\sin \theta }$ ${\displaystyle =R\cos \theta }$ ${\displaystyle \Rightarrow dx=R\cos \theta d\theta }$

と書けるので

を得る．したがって

${\displaystyle I=\frac{2M}{\pi R^2}\cdot \frac{R^4}{4}\cdot \frac{\pi }{2}}$ ${\displaystyle =\frac{M{R}^4}{4}}$

と求まる．

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