中空円柱（厚みのある円筒）の慣性モーメント2

図に示すように，質量 $M$ ，内半径 $R_{1}$ ，外半径 $R_{2}$ ，長さ $L$ の密度が一様な中空円柱（厚みのある円筒）について，図に示された回転軸のまわりの慣性モーメント $I$ を求めよ．

解答

$I = \frac{1}{4} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) + \frac{1}{12} M L^{2}$

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解説1

図1

図2

図3

y

軸の先から円筒を見た図

この中空円柱（厚みのある円筒）の体積は $V = π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) L$ なので，その密度を $ρ$ とすると

$ρ = \frac{M}{V}$ $= \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) L}$

である．図1のように回転軸を $y$ 軸にとり， $y$ 軸と直交する $z x$ 平面をとる．この中空円柱を $z$ 軸方向に微小幅 $d z$ でスライスし，多数の薄い円環に分割する．さらに，円柱座標を考えて， $x y$ 面上の座標を $(r, θ)$ で表し，図2のように薄い円環の面積を $r$ 方向と $θ$ 方向で細分化する．このとき，微小面積 $d S$ は

$d S = d r \cdot r d θ$

と表せるので，厚さ $d z$ の微小部分の体積 $d V$ は

$d V = d S \cdot d z$ $= r d r d θ d z$

である．よって，この微小部分の質量 $d m$ は

$d m = ρ \cdot d V$ $= \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) L} \cdot r d r d θ d z$

となる．

図3から分かるように，この微小部分の回転軸までの距離（回転半径）は $u = \sqrt{{(r cos θ)}^{2} + z^{2}}$ であるので，微小部分の回転軸周りの慣性モーメント $d I$ は

$d I = u^{2} d m$ $= (r^{2} \cos^{2} θ + z^{2}) \cdot \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) L} \cdot r d r d θ d z$

となる．したがって，求める慣性モーメント $I$ は

$I = \int_{D} d I$ $= \int_{D} u^{2} d m$ $= \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \int_{0}^{2 π} \int_{R_{1}}^{R_{2}} (r^{2} \cos^{2} θ + z^{2}) \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) L} r d r d θ d z$ $= \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) L} \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} {\int_{0}^{2 π} (\int_{R_{1}}^{R_{2}} (r^{3} \cos^{2} θ + r z^{2}) d r) d θ} d z$ $= \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) L} \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} {\int_{0}^{2 π} {[\frac{1}{4} r^{4} \cos^{2} θ + \frac{1}{2} r^{2} z^{2}]}_{R_{1}}^{R_{2}} d θ} d z$ $= \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) L} \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} {\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{4} (R_{2}^{4} - R_{1}^{4}) \cos^{2} θ + \frac{1}{2} (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) z^{2}) d θ} d z$ $= \frac{M}{2 π L} \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} {\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) \frac{1 + \cos 2 θ}{2} + z^{2}) d θ} d z$ $= \frac{M}{2 π L} \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} {[\frac{1}{4} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) (θ + \frac{\sin 2 θ}{2}) + z^{2} θ]}_{0}^{2 π} d z$ $= \frac{M}{2 π L} \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} (\frac{π}{2} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) + 2 π z^{2}) d z$ $= \frac{M}{L} \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} (\frac{1}{4} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) + z^{2}) d z$ $= \frac{M}{L} {[\frac{1}{4} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) z + \frac{1}{3} z^{3}]}_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}$ $= \frac{M}{L} (\frac{1}{4} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) L + \frac{1}{12} L^{3})$ $= \frac{1}{4} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) + \frac{1}{12} M L^{2}$

となる．

解説2

★ 平行軸の定理を用いて計算

中空円柱の密度を $ρ$ とすると

$ρ = \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) L}$

である．図1のように回転軸を $y$ 軸にとり， $y$ 軸と直交する $z x$ 平面をとる．この中空円柱を $z$ 軸方向に微小幅 $d z$ でスライスし，多数の薄い円環に分割すると，内半径 $R_{1}$ ，外半径 $R_{2}$ の円環の面積は $π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})$ であり，この微小な厚さ $d z$ の円環の体積は $d V = π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) \cdot d z$ と表せるので，その微小質量は

$d m = ρ \cdot d V$ $= \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) L} \cdot π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) \cdot d z$ $= \frac{M}{L} d z$

である．位置 $z = 0$ にある円環の $y$ 軸のまわりの慣性モーメント $d I_{G}$ は，円環の慣性モーメント2より

$d I_{G} = \frac{1}{4} d m (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$ $= \frac{M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})}{4 L} d z$

図2

である．原点 $O$ から $z$ 軸方向に $z$ だけ移動した厚さ $d z$ の円環（図2）の慣性モーメント $d I_{z}$ は，平行軸の定理により

$d I_{z} = d I_{G} + \frac{M}{L} d z \cdot {| z |}^{2}$ $= \frac{M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})}{4 L} d z + \frac{M}{L} z^{2} d z$

であるので，求める慣性モーメント $I$ は，

$I = \int_{z} d I_{z}$ $= \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} (\frac{M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})}{4 L} + \frac{M}{L} z^{2}) d z$ $= {[\frac{M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})}{4 L} z + \frac{M}{3 L} z^{3}]}_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}$ $= \frac{1}{4} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) + \frac{1}{12} M L^{2}$

となる．

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最終更新日：2025年12月23日