中空球（厚みのある球殻）の慣性モーメント

図に示すような，質量 $M$ ，半径 $R$ の一様な中空球（厚みのある球殻）について，質量中心を通る回転軸のまわりの慣性モーメント $I$ を求めよ．

$I = \frac{2}{5} M \frac{R_{1}^{4} + R_{1}^{3} R_{2} + R_{1}^{2} R_{2}^{2} + R_{1} R_{2}^{3} + R_{2}^{4}}{R_{1}^{2} + R_{1} R_{2} + R_{2}^{2}}$

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解説1

内半径 $R_{1}$ ，外半径 $R_{2}$ の中空球（厚みのある球殻）の体積 $V$ は

$V = \frac{4}{3} π R_{2}^{3} - \frac{4}{3} π R_{1}^{3}$ $= \frac{4}{3} π (R_{2}^{3} - R_{1}^{3})$

なので，中空球の密度を $ρ$ とすると

$ρ = \frac{M}{V}$ $= \frac{3 M}{4 π (R_{2}^{3} - R_{1}^{3})}$

である．この一様な密度 $ρ$ をもつ，半径 $R_{1}$ の球を考えると，その質量 $M_{1}$ は

$M_{1} = ρ \cdot \frac{4}{3} π R_{1}^{3}$ $= M \cdot \frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3} - R_{1}^{3}}$

なので，この球の質量中心を通る回転軸周りの慣性モーメント $I_{1}$ は，球の慣性モーメントより

$I_{1} = \frac{2}{5} M_{1} R_{1}^{2}$ $= \frac{2}{5} (M \cdot \frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3} - R_{1}^{3}}) R_{1}^{2}$ $= \frac{2}{5} M \frac{R_{1}^{5}}{R_{2}^{3} - R_{1}^{3}}$

となる．同様に，半径 $R_{2}$ ，密度 $ρ$ の球の，質量中心を通る回転軸周りの慣性モーメント $I_{2}$ は

$I_{2} = \frac{2}{5} M \frac{R_{2}^{5}}{R_{2}^{3} - R_{1}^{3}}$

となる．したがって，内半径 $R_{1}$ ，外半径 $R_{2}$ の中空球の慣性モーメントは

$I = I_{2} - I_{1}$ $= \frac{2}{5} M \frac{R_{2}^{5}}{R_{2}^{3} - R_{1}^{3}} - \frac{2}{5} M \frac{R_{1}^{5}}{R_{2}^{3} - R_{1}^{3}}$ $= \frac{2}{5} M \frac{R_{2}^{5} - R_{1}^{5}}{R_{2}^{3} - R_{1}^{3}}$
$= \frac{2}{5} M \frac{R_{1}^{4} + R_{1}^{3} R_{2} + R_{1}^{2} R_{2}^{2} + R_{1} R_{2}^{3} + R_{2}^{4}}{R_{1}^{2} + R_{1} R_{2} + R_{2}^{2}}$

と求まる．

解説2

★ 極座標を用いて計算

図に示すように，中空球を微小部分に分割し，極座標 $(r, θ, ϕ)$ を用いて，微小部分の体積を表すと

$d V = d r \cdot r d θ \cdot r \sin θ d ϕ$
$= r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ$

となるので，中空球の密度

$ρ = \frac{3 M}{4 π (R_{2}^{3} - R_{1}^{3})}$

より，この微小部分の質量は

$d m = ρ \cdot d V$ $= \frac{3 M}{4 π (R_{2}^{3} - R_{1}^{3})} r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ$

である．この微小部分の回転軸までの距離（回転半径）は $r \sin θ$ なので，微小部分の回転軸周りの慣性モーメント $d I$ は

$d I = {(r \sin θ)}^{2} d m$ $= \frac{3 M}{4 π (R_{2}^{3} - R_{1}^{3})} r^{4} \sin^{3} θ d r d θ d ϕ$

と表せる．したがって，求める慣性モーメント $I$ は，

$I = \int_{D} d I$ $= \int_{R_{1}}^{R_{2}} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \frac{3 M}{4 π (R_{2}^{3} - R_{1}^{3})} r^{4} \sin^{3} θ d r d θ d ϕ$
$= \frac{3 M}{4 π (R_{2}^{3} - R_{1}^{3})} \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{4} d r \int_{0}^{π} \sin^{3} θ d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ$

となる．各々の積分は

$\int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{4} d r = {[\frac{1}{5} r^{5}]}_{R_{1}}^{R_{2}}$ $= \frac{1}{5} (R_{2}^{5} - R_{1}^{5})$
$\int_{0}^{π} \sin^{3} θ d θ = \int_{0}^{π} (1 - \cos^{2} θ) \sin θ d θ$ （ $u = \cos θ$ とおいて置換積分）
$= \int_{- 1}^{1} (1 - u^{2}) d u$ $= {[u - \frac{1}{3} u^{3}]}_{- 1}^{1}$ $= 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
$\int_{0}^{2 π} d ϕ = {[ϕ]}_{0}^{2 π} = 2 π$

なので，慣性モーメントは

$I = \frac{3 M}{4 π (R_{2}^{3} - R_{1}^{3})} \cdot \frac{1}{5} (R_{2}^{5} - R_{1}^{5}) \cdot \frac{4}{3} \cdot 2 π$ $= \frac{2}{5} M \frac{R_{2}^{5} - R_{1}^{5}}{R_{2}^{3} - R_{1}^{3}}$
$= \frac{2}{5} M \frac{R_{1}^{4} + R_{1}^{3} R_{2} + R_{1}^{2} R_{2}^{2} + R_{1} R_{2}^{3} + R_{2}^{4}}{R_{1}^{2} + R_{1} R_{2} + R_{2}^{2}}$

と求まる．

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最終更新日：2025年12月20日