一様な薄板の重心
次の薄い一様な板（灰色部分）の
重心
の位置を答えよ．必要なら座標軸を設定せよ（原点や
x
軸，
y
軸を明示せよ）．
(
1
)
※角はすべて直角
図のように原点と軸を設定すると，重心
G
の位置は
(
0,−
L
12
)
である．
閉じる
図のように原点と軸を設定し，1辺
L
2
，質量
m
の正方形の一様な薄板と，縦
L
2
，横
L
で質量
2m
の長方形の一様な薄板を考えると，各薄板の重心の位置は
正方形の重心の位置：
R
1
=(
0,
L
4
)
長方形の重心の位置：
R
2
=(
0,−
L
4
)
である．これらの重心の位置に質量
m
，
2m
の2つの質点があるとみなして，この2質点系の重心
G
の位置を求めると
R=
m(
0,
L
4
)+2m(
0,−
L
4
)
m+2m
=
(
0,−
L
4
)
3
=(
0,−
L
12
)
を得る．
閉じる
(
2
)
※角はすべて直角
図のように原点と軸を設定すると，重心
G
の位置は
(
0,−
L
12
)
である．
閉じる
図のように原点と軸を設定し，1辺
L
，質量
4m
の正方形の一様な薄板と，仮想的な負の質量
−m
をもつ1辺
L
2
の正方形の一様な薄板を考えると，各薄板の重心の位置は
1辺
L
の正方形の重心の位置：
R
1
=(
0,0
)
1辺
L
2
の正方形の重心の位置：
R
2
=(
0,
L
4
)
である．これらの重心の位置に質量
4m
,
−m
の2つの質点があるとみなして，この2質点系の重心
G
の位置を求めると
R=
4m(
0,0
)+(
−m
)(
0,
L
4
)
4m+(
−m
)
=
(
0,−
L
4
)
3
=(
0,−
L
12
)
を得る．
閉じる
(
3
)
図のように原点と軸を設定すると，重心
G
の位置は
(
2
L
18
,
2
L
18
)
である．
閉じる
図のように原点と軸を設定し，１辺
L
，質量
4m
の正方形の一様な薄板と，仮想的な負の質量
−m
をもつ2辺が
L
2
の直角2等辺三角形の一様な薄板を考える．
正方形の薄板の重心の位置は原点である．
三角形の重心
は3本の中線（各頂点から対辺の中点に引いた線）の交点なので，頂点から対辺の中点までの線分を
2:1
に分ける点となる．よって，この直角2等辺三角形の重心の位置は
(
−
L
3
2
,−
L
3
2
)
である．
原点に質量
4m
，点
(
−
L
3
2
,−
L
3
2
)
に質量
−m
の質点がある2質点系の重心
G
の位置を求めると
R=
4m(
0,0
)+(
−m
)(
−
L
3
2
,−
L
3
2
)
4m+(
−m
)
=
(
L,L
)
9
2
=(
2
L
18
,
2
L
18
)
を得る．
閉じる
(
4
)
図のように原点と軸を設定すると，重心
G
の位置は
(
−
b
2
c
a
2
−
b
2
,0
)
である．
閉じる
円の重心は円の中心である．
また，円の半径を
r
とすると面積は
π
r
2
なので，半径
a
と
b
の円の質量比は
a
2
:
b
2
である．
図のように軸と原点を設定し，質量
a
2
m
，中心
(
0,0
)
，半径
a
の円形の一様
な薄板と，仮想的に負の質量
−
b
2
m
をもつ中心
(
c,0
)
，半径
b
の円形の一様な薄板を考えると，原点に質量
a
2
m
，点
(
c,0
)
に質量
−
b
2
m
の質点がある2質点系とみなせるので，その重心の位置を求めると
R=
a
2
m(
0,0
)+(
−
b
2
m
)(
c,0
)
a
2
m+(
−
b
2
m
)
=
−
b
2
(
c,0
)
a
2
−
b
2
=(
−
b
2
c
a
2
−
b
2
,0
)
を得る．
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学生スタッフ作成
2021年7月14日