重心の位置(2次元における3質点系, $n$ 質点系の重心)

＜2次元＞

〇 3質点系

２次元における重心Gの座標を $\vec{r_{G}} = (x_{G}, y_{G})$ とする．質点の質量を $m_{1} 〔 k g 〕$ ， $m_{2} 〔 k g 〕$ ， $m_{3} 〔 k g 〕$ とし，質点の座標をそれぞれ $(x_{1}, y_{1}) 〔 m 〕$ ， $(x_{2}, y_{2}) 〔 m 〕$ ， $(x_{3}, y_{3}) 〔 m 〕$ とすると，２質点系において， $x$ 軸方向の重心Gのまわりの力のモーメントのつり合い条件から， $x_{G}$ は，

$m_{1} g (x_{G} - x_{1}) - m_{2} g (x_{2} - x_{G}) - m_{3} g (x_{3} - x_{G}) = 0$

$m_{1} x_{G} - m_{1} x_{1} - m_{2} x_{2} + m_{2} x_{G} - m_{3} x_{3} + m_{3} x_{G} = 0$

$(m_{1} + m_{2} + m_{3}) x_{G} = m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3}$

$x_{G} = \frac{m_{1} x_{1} ＋ m_{2} x_{2} ＋ m_{3} x_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} 〔 m 〕$

$y$ 軸方向の重心Gのまわりの力のモーメントのつり合い条件から， $y_{G}$ は，

$m_{1} g (y_{G} - x_{1}) - m_{2} g (y_{2} - y_{G}) - m_{3} g (y_{3} - y_{G}) = 0$

$m_{1} y_{G} - m_{1} y_{1} - m_{2} y_{2} + m_{2} y_{G} - m_{3} y_{3} + m_{3} y_{G} = 0$

$(m_{1} + m_{2} + m_{3}) y_{G} = m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + m_{3} y_{3}$

$y_{G} = \frac{m_{1} y_{1} ＋ m_{2} y_{2} ＋ m_{3} y_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} 〔 m 〕$

2次元における2質点系の重心Gの座標は，

$\vec{r_{G}} = (\frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{2}}, \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + m_{3} y_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}}) 〔 m 〕$

〇 $n$ 質点系

質点の質量を $m_{1} 〔 k g 〕$ ， $m_{2} 〔 k g 〕$ ，，， $m_{n} 〔 k g 〕$ とし，質点の座標をそれぞれ $(x_{1}, y_{1}) 〔 m 〕$ ， $(x_{2}, y_{2}) 〔 m 〕$ ，，， $(x_{n}, y_{n}) 〔 m 〕$ とすると，一般に， $n$ 質点系の重心Gの座標は，

$\vec{r_{G}} = (\frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + \dots + m_{n} x_{n}}{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}}, \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + \dots + m_{n} y_{n}}{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}}) 〔 m 〕$

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2025年10月21日

重心の位置(2次元における3質点系, n 質点系の重心)

＜2次元＞

〇 3質点系

〇 n 質点系

重心の位置(2次元における3質点系, $n$ 質点系の重心)

〇 $n$ 質点系