力学的エネルギー保存則 2

下図に示すように，水平な床に固定された台の滑らかな上面の点 $A$ において，小球を静かに放す．小球は点 $B$ を通過後，点 $C$ に達して飛び出した．点 $A$ , $B$ , $C$ での床からの高さは，それぞれ $L$ ， $2 L / 5$ ， $2 L / 3$ である．重力加速度の大きさを $g$ とし，空気の影響は無視できるものとする．以下の問に答えよ．

$(1)$

点 $B$ における小球の速さ $v_{B}$ を $L$ ， $g$ を用いて表せ．

$v_{B} = \sqrt{\frac{6}{5} g L}$

水平な床を重力ポテンシャルエネルギーの基準水平面にとると，2点 $A$ ， $B$ での力学的エネルギー保存則により

$m g L = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g \cdot \frac{2 L}{5}$

が成立するので，

$\frac{1}{2} v_{B}^{2} = g L - \frac{2}{5} g L = \frac{3}{5} g L$

となる．したがって

$∴ v_{B} = \sqrt{\frac{6}{5} g L}$

$(2)$

点 $C$ における小球の速さ $v_{C}$ を $L$ ， $g$ を用いて表せ．

$v_{C} = \sqrt{\frac{2}{3} g L}$

(1)と同様に，2点 $A$ ， $C$ での力学的エネルギー保存則により

$m g L = \frac{1}{2} m v_{C}^{2} + m g \cdot \frac{2 L}{3}$

が成立するので，

$\frac{1}{2} v_{C}^{2} = g L - \frac{2}{3} g L = \frac{1}{3} g L$

となり，したがって

$∴ v_{C} = \sqrt{\frac{2}{3} g L}$

$(3)$

小球は点 $C$ を通過後，ある飛跡を描いてやがて床に着地する．点 $C$ を通過後の小球の最高到達点の高さ $h$ を， $L$ を用いて表せ．

$h = \frac{3}{4} L$

おもりが最高点に達したときの，おもりの速度の水平成分は $v_{C} \cos 30 ° = \sqrt{3} v_{C} / 2$ であり，鉛直成分は0である．点 $A$ と最高到達地点での力学的エネルギー保存則より

$m g L = \frac{1}{2} m {(\frac{\sqrt{3}}{2} v_{C})}^{2} + m g h$ $= \frac{3}{8} m v_{C}^{2} + m g h$

が成り立つ．(2)の解答より， $v_{C} = \sqrt{\frac{2}{3} g L}$ なので，

$m g L = \frac{3}{8} m \cdot \frac{2}{3} g L + m g h$ $= \frac{1}{4} m g L + m g h$

となる．したがって，

$∴ h = L - \frac{1}{4} L = \frac{3}{4} L$

$(4)$

点 $C$ を通過後の物体の飛跡の概略を図中に描け．

(3)の解答より，最高到達地点の高さは $h = \frac{3}{4} L$ なので，飛跡の最高点は点 $A$ よりも低くなるように描く必要がある．

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最終更新日：2025年9月12日