力学的エネルギー保存則 2
下図に示すように，水平な床に固定された台の滑らかな上面の点Aにおいて，小球を静かに放す．小球は点Bを通過後，点Cに達して飛び出した．点A,B,Cでの床からの高さは，それぞれ
L
，
2L/5
，
2L/3
である．重力加速度の大きさを
g
とし，空気の影響は無視できるものとする．以下の問に答えよ．
点Bにおける小球の速さ
v
B
を
L
，
g
を用いて表せ．
解答
解説
水平な床を重力ポテンシャルエネルギーの基準水平面にとると，2点A，Bでの力学的エネルギー保存則により
mgL=
1
2
m
v
B
2
+mg⋅
2L
5
が成立するので，
1
2
v
B
2
=gL−
2
5
gL=
3
5
gL
となる．したがって
∴
v
B
=
6
5
gL
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点Cにおける小球の速さ
v
C
を
L
，
g
を用いて表せ．
解答
解説
(1)と同様に，2点A，Cでの力学的エネルギー保存則により
mgL=
1
2
m
v
C
2
+mg⋅
2L
3
が成立するので，
1
2
v
C
2
=gL−
2
3
gL=
1
3
gL
となり，したがって
∴
v
C
=
2
3
gL
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小球は点Cを通過後，ある飛跡を描いてやがて床に着地する．点Cを通過後の小球の最高到達点の高さ
h
を，
L
を用いて表せ．
解答
解説
おもりが最高点に達したときの，おもりの速度の水平成分は
v
C
cos30°=
3
v
C
/2
であり，鉛直成分は0である．点Aと最高到達地点での力学的エネルギー保存則より
mgL=
1
2
m
(
3
2
v
C
)
2
+mgh
=
3
8
m
v
C
2
+mgh
が成り立つ．(2)の解答より，
v
C
=
2
3
gL
なので，
mgL=
3
8
m⋅
2
3
gL+mgh
=
1
4
mgL+mgh
となる．したがって，
∴h=L−
1
4
L=
3
4
L
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点Cを通過後の物体の飛跡の概略を図中に描け．
解答
解説
(3)の解答より，最高到達地点の高さは
h=
3
4
L
なので，飛跡の最高点は点Aよりも低くなるように描く必要がある．
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2022年9月12日
