万有引力によるポテンシャルエネルギー

${\displaystyle W={\displaystyle {\int }_R^{R+L}F\left(r\right)dr}={\displaystyle {\int }_R^{R+L}G\frac{Mm}{r^2}dr}}$

${\displaystyle ={\left[-G\frac{Mm}{r}\right]}_R^{R+L}=-G\frac{Mm}{R+L}+G\frac{Mm}{R}=\frac{GMmL}{R\left(R+L\right)}}$

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${\displaystyle \left(1\right)}$ で求めた仕事は，物体が地表にあるときを基準点として，物体が地表から高さ ${\displaystyle L}$ の位置にあるときの系のポテンシャルエネルギーである．従って， 力学的エネルギー保存の法則 を用いて

${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2=\frac{GMmL}{R\left(R+L\right)}}$

より，地表に達する直前の物体の速さは

${\displaystyle v=\sqrt{\frac{2GML}{R\left(R+L\right)}}}$

と求まる．

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無限遠を基準点としたとき，物体が地表にあるときの系のポテンシャルエネルギーは

${\displaystyle U=-{\displaystyle {\int }_R^{\infty }G\frac{Mm}{r^2}dr}={\left[G\frac{Mm}{r}\right]}_R^{\infty }=-G\frac{Mm}{R}}$

である．物体が地球の重力圏から脱出するためには，無限遠に達したときの速さ ${\displaystyle v_{\infty }}$ がゼロより大きければよい．したがって，力学的エネルギー保存の法則より

${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2-G\frac{Mm}{R}=\frac{1}{2}m{v}_{\infty }^2>0}$

であればよい．したがって，

${\displaystyle v>\sqrt{\frac{2GM}{R}}}$

となる．

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