万有引力によるポテンシャルエネルギー
図のように地球表面(地表)から距離
の高さまで質量
の物体を引き上げることを考える.ここで,地球を質量
,半径
の球とみなす.距離
だけ離れた,質量
,
の2つの物体の間には大きさ
の
万有引力が働く.ここで,
は万有引力定数である.地球の質量
は物体の質量
に比べて非常に大きいため,地球は静止したままであるとし,空気の影響は無視できるものとする.
地表で静止していた物体に力を加えて,地表から距離
の高さまで物体をゆっくり引き上げたとき,その力のした仕事
を求めよ.
解答
解説
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地表から距離
の高さまで物体を引き上げた後,物体を放して初速ゼロで自由落下させた.地表に達する直前の物体の速さを求めよ.
解答
解説
で求めた仕事は,物体が地表にあるときを基準点として,物体が地表から高さ
の位置にあるときの系のポテンシャルエネルギーである.従って,
力学的エネルギー保存の法則
を用いて
より,地表に達する直前の物体の速さは
と求まる.
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この物体を地面から初速
で打ち上げる.物体が地球の重力圏から脱出するための初速
の条件を求めよ.
解答
解説
無限遠を基準点としたとき,物体が地表にあるときの系のポテンシャルエネルギーは
である.物体が地球の重力圏から脱出するためには,無限遠に達したときの速さ
がゼロより大きければよい.したがって,力学的エネルギー保存の法則より
であればよい.したがって,
となる.
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学生スタッフ作成
2021年1月18日