綱で荷物を引っ張る人(静止摩擦力・動摩擦力・仕事)

荷物が滑り出す直前の張力の大きさは ${\displaystyle F_0\text{[N]}}$ であり，荷物と床との間の静止摩擦力の大きさは 最大静止摩擦力の大きさ ${\displaystyle \mu N}$ に等しい．このとき，水平右向きに ${\displaystyle x}$ 軸，鉛直上向きに ${\displaystyle y}$ 軸をとると，荷物のはたらく力は，重力 ${\displaystyle \mathit{W}=\left(0,-mg\right)}$ ，張力 ${\displaystyle \mathit{F}=\left(F_0\cos \theta ,F_0\sin \theta \right)}$ ，垂直抗力 ${\displaystyle \mathit{N}=\left(0,N\right)}$ ，静止摩擦力 ${\displaystyle \mathit{f}=\left(-\mu N,0\right)}$ であり，力のつり合い ${\displaystyle \mathit{W}\text{+}\mathit{F}\text{+}\mathit{N}\text{+}\mathit{f}=\mathit{0}}$ を満たす．
したがって，力のつり合いの式の水平方向は， ${\displaystyle F_0\cos \theta -\mu N=0}$ となり，鉛直方向は ${\displaystyle F_0\sin \theta +N-mg=0}$ となる．

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${\displaystyle (1)}$ で求めた力のつり合いの鉛直方向の式 ${\displaystyle F_0\sin \theta +N-mg=0}$ より ${\displaystyle N=mg-F_0\sin \theta [\text{N}]}$ と求まる．

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${\displaystyle (2)}$ で求めた荷物が床面から受ける垂直抗力の大きさ ${\displaystyle N=mg-F_0\sin \theta [\text{N}]}$ を，力のつり合いの水平方向の式に代入すると

${\displaystyle F_0\cos \theta -\mu \left(mg-F_0\sin \theta \right)=0}$    ⇒    ${\displaystyle \mu =\frac{F_0\cos \theta }{mg-F_0\sin \theta }}$

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物体に一定の力 ${\displaystyle \mathit{F}}$ を加えて一定の方向に移動させたときの物体の変位を ${\displaystyle \mathit{s}}$ とすると，力 ${\displaystyle \mathit{F}}$ のする仕事は ${\displaystyle W_F=\mathit{F}\cdot \mathit{s}\text{[J]}}$ である (${\displaystyle \mathit{F}}$ と ${\displaystyle \mathit{s}}$ の内積)．よって， ${\displaystyle \mathit{F}=\left(F_1\cos \theta ,F_1\sin \theta \right)}$ , ${\displaystyle \mathit{s}=\left(L,0\right)}$ の場合，

${\displaystyle W_F=\left(F_1\cos \theta ,F_1\sin \theta \right)\cdot \left(L\cdot 0\right)}$ ${\displaystyle =F_1\cos \theta \cdot L+F_1\sin \theta \cdot 0}$ ${\displaystyle =F_{1}L\cos \theta }$

となる．

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引っ張る前の荷物の速さを ${\displaystyle v_i[\text{m/s}]}$ , ${\displaystyle L[\text{m}]}$ 引っ張った後の荷物の速さを ${\displaystyle v_f[\text{m/s}]}$ ，その間に荷物になされた仕事を ${\displaystyle W[\text{J}]}$ とすると，仕事と運動エネルギーの関係

${\displaystyle W=\frac{1}{2}m{v}_f{}^2-\frac{1}{2}m{v}_i{}^2}$

が成り立つ．最初，荷物は静止していたので ${\displaystyle v_i=0}$ であり， ${\displaystyle v_f=v}$ である．重力と垂直抗力と荷物の移動方向は直交しているので，重力と垂直抗力のする仕事はゼロである．また，動摩擦力のする仕事は

${\displaystyle W_f=(-{\mu }^{\prime }N,0)\cdot (L,0)}$ ${\displaystyle =-{\mu }^{\prime }NL}$ ${\displaystyle =-{\mu }^{\prime }(mg-F_1\sin \theta )L}$

である．したがって，荷物になされた全仕事は

${\displaystyle W=W_F+W_f}$ ${\displaystyle =F_{1}L\cos \theta -{\mu }^{\prime }\left(mg-F_1\sin \theta \right)L}$ ${\displaystyle =\left\{F_1\cos \theta -{\mu }^{\prime }\left(mg-F_1\sin \theta \right)\right\}L}$

となる．仕事と運動エネルギーの関係 ${\displaystyle W=\frac{1}{2}m{v}^2}$ より，荷物の速さは

${\displaystyle v=\sqrt{\frac{2W}{m}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{2\left\{F_1\cos \theta -{\mu }^{\prime }\left(mg-F_1\sin \theta \right)\right\}L}{m}}\text{[m/s]}}$

と求まる．

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