運動エネルギー

運動している物体がもつエネルギーを運動エネルギー(Kinetic energy)という．運動エネルギーの大きさは，物体の質量が大きいほど，また，速さが大きいほど大きくなる．質量 ${\displaystyle m〔\text{kg}〕}$ の物体が，速さ ${\displaystyle v〔\text{m/s}〕}$ で運動しているとき，物体の運動エネルギー ${\displaystyle K〔\text{J}〕}$ は，次式で表される．

${\displaystyle K=\frac{1}{2}m{v}^2}$

○ ${\displaystyle K=\frac{1}{2}m{v}^2}$ の導出

はじめ静止している質量 ${\displaystyle m〔\text{kg}〕}$ の物体（初速 ${\displaystyle v_0=0}$ ）に一定の力(大きさ ${\displaystyle F〔\text{N}〕}$) を加えて ${\displaystyle x}$ 軸上を初期位置 ${\displaystyle x_0=0}$ から ${\displaystyle x〔\text{m}〕}$ まで移動させたとき，物体の速さが ${\displaystyle v〔\text{m/s}〕}$ になったとする(下図)．このとき，物体の加速度は ${\displaystyle a=F/m〔\text{m}/{\text{s}}^2〕}$ であるので，等加速度直線運動(Linear motion of uniform acceleration)で成り立つ式 ${\displaystyle v^2-{v_0}^2=2a(x-x_0)}$ より，

${\displaystyle v^2-0^2=2\frac{F}{m}(x-0)}$

  ⇒     ${\displaystyle Fx=\frac{1}{2}m{v}^2}$

となる．よって，力${\displaystyle F}$ がした(${\displaystyle F}$ を及ぼした主体がした)仕事に等しいエネルギーを物体がもち，これが運動エネルギーである．

より一般に，速さ ${\displaystyle v_{\text{i}}〔\text{m/s}〕}$ で運動している質量 ${\displaystyle m〔\text{kg}〕}$ の物体に仕事 ${\displaystyle W〔\text{J}〕}$ をして，物体の速さが ${\displaystyle v_{\text{f}}〔\text{m/s}〕}$ になったとき，その仕事がすべて運動エネルギーに変換されたとすると，仕事と運動エネルギーには以下の関係が成り立つ．

${\displaystyle W=\frac{1}{2}m{v}_{\text{f}}^2-\frac{1}{2}m{v}_{\text{i}}^2}$

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学生スタッフ作成

2018年1月19日