等加速度直線運動の式の導出（積分から求める） (derivation of motion expression by integration)

時刻 t 〔s〕 での位置，速度，加速度をそれぞれ x( t )〔m〕  ， v( t )〔m/s〕  ， a( t )〔m/ s 2 〕   とする．

物体が等加速度直線運動をしているとき，物体の加速度は一定 ( a=const )である． 初期条件を用いて積分することで(位置，速度，加速度の関係)任意の時刻 t 〔s〕 での位置 x( t )〔m〕   と速度 v( t )〔m/s〕   を導出することができる．

初期条件：時刻 t=0  s   での速度を v(0)= v 0 〔m/s〕   ，位置を x(0)= x 0 〔m〕   とする．

( I ) 速度 v 〔m/s〕 は以下のように積分することで求めることができる．

v= ∫ adt =at+ C 1

t=0  s   のとき v= v 0 〔m/s〕 を上式に代入して C 1 = v 0 が得られる．

よって速度 v 〔m/s〕 は

v= v 0 +at

と表される．

( II ) 位置 x 〔m〕 は以下のように積分して求めることができる．

x= ∫ vdt = v 0 t+ 1 2 a t 2 + C 2

t=0  s   のとき x= x 0 〔m〕 を上式に代入して C 2 = x 0 が得られる．

よって位置 x 〔m〕 は

x= x 0 + v 0 t+ 1 2 a t 2

と表される．

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最終更新日： 2018年3月5日