重心の位置(2次元における2質点系)

＜2次元＞

〇2質点系

質点系の重心 (center of gravity) は質点にはたらくすべての重力の合力の作用点である．したがって，重心 ${\displaystyle \text{G}}$ を通る回転軸（鉛直方向と平行ではない）を考えると，その回転軸のまわりの2質点系にはたらく重力のモーメント(moment)の和は ${\displaystyle 0}$ になる（2質点系を重心で支えると回転しない）．

図のように，硬くて軽い棒で繋がった質量 ${\displaystyle m_1〔\text{k}\text{g}〕}$ ， ${\displaystyle m_2〔\text{k}\text{g}〕}$ の2つの質点が ${\displaystyle xy}$ 平面上にあるとし，${\displaystyle z}$ 軸の負の向きを鉛直下向きにとる（重力はz軸の負の向きにはたらく）．

この2次元平面上における各質点の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(x_1,y_1\right)〔\text{m}〕}$ ， ${\displaystyle \left(x_2,y_2\right)〔\text{m}〕}$ とし，重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の座標を ${\displaystyle \overrightarrow{r_{\text{G}}}=\left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)}$ とする．この2質点系について，重心 ${\displaystyle \text{G}}$ を通って ${\displaystyle y}$ 軸に平行な軸のまわりの重力のモーメントのつり合い条件

${\displaystyle m_{1}g\left(x_{\text{G}}-x_1\right)-m_{2}g\left(x_2-x_{\text{G}}\right)=0}$

から，重心の ${\displaystyle x}$ 座標 ${\displaystyle x_{\text{G}}}$ は

${\displaystyle m_1{x}_{\text{G}}-m_1{x}_1-m_2{x}_2+m_2{x}_{\text{G}}=0}$

${\displaystyle \left(m_1+m_2\right)x_{\text{G}}=m_1{x}_1+m_2{x}_2}$

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{m_1{x}_1＋m_2{x}_2}{m_1+m_2}〔\text{m}〕}$

と求まる．同様に， 重心 ${\displaystyle \text{G}}$ を通って ${\displaystyle x}$ 軸に平行な軸のまわりの重力のモーメントのつり合い条件

${\displaystyle m_{1}g\left(y_{\text{G}}-y_1\right)-m_{2}g\left(y_2-y_{\text{G}}\right)=0}$

から，重心の ${\displaystyle y}$ 座標 ${\displaystyle y_{\text{G}}}$ は

${\displaystyle m_1{y}_{\text{G}}-m_1{y}_1-m_2{y}_2+m_2{y}_{\text{G}}=0}$

${\displaystyle \left(m_1+m_2\right)y_{\text{G}}=m_1{y}_1+m_2{y}_2}$

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{m_1{y}_1＋m_2{y}_2}{m_1+m_2}〔\text{m}〕}$

と求まる．したがって，2次元における2質点系の重心Gの座標は，

${\displaystyle \overrightarrow{r_{\text{G}}}=\left(\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2},\frac{m_1{y}_1+m_2{y}_2}{m_1+m_2}\right)〔\text{m}〕}$

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学生スタッフ作成

2025年10月21日