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波の干渉条件証明

波源${\displaystyle {\text{S}}_{\text{1}}}$ ，${\displaystyle {\text{S}}_{\text{2}}}$ から出る${\displaystyle \text{P}}$ 点での変位を
${\displaystyle y_1\left(r_1,t\right)=A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r_1}{\lambda }\right)}$
${\displaystyle y_2\left(r_2,t\right)=A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r_2}{\lambda }\right)}$
とすると，${\displaystyle \text{P}}$ 点での合成波の変位は
${\displaystyle y=y_1+y_2=A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r_1}{\lambda }\right)+A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r_2}{\lambda }\right)}$
ここで三角関数の和積の公式より
${\displaystyle y=2A\sin \frac{2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r_1}{\lambda }\right)+2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r_2}{\lambda }\right)}{2}\cos \frac{2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r_1}{\lambda }\right)-2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r_2}{\lambda }\right)}{2}}$
したがって
${\displaystyle y=2A\cos \pi \left(\frac{\left|r_1-r_2\right|}{\lambda }\right)\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r_1+r_2}{2\lambda }\right)}$
となるから， ${\displaystyle \left|r_1-r_2\right|=m\lambda }$ のとき振幅は ${\displaystyle 2A}$ で最大， ${\displaystyle \left|r_1-r_2\right|=\left(2m+1\right)\frac{\lambda }{2}}$ のとき振幅は ${\displaystyle 0}$ となる．

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学生スタッフ作成

2021年7月15日

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