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応用分野: 三角関数の不等式の解き方三角方程式の解き方加法定理
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和積の公式

 

 

 

 

■公式の導出

sinϕ+sinθ =2sin ϕ+θ 2 cos ϕθ 2 の公式の導出

積和の公式  sinαcosβ = 1 2 { sin( α+β )+sin( αβ ) } において, α= ϕ+θ 2 β= ϕθ 2   とおいて,代入すると,

  • sin ϕ+θ 2 cos ϕθ 2
  • = 1 2 sin( ϕ+θ 2 + ϕθ 2 )
  • +sin( ϕ+θ 2 ϕθ 2 )

= 1 2 ( sinϕ+sinθ )

したがって,

sinϕ+sinθ =2sin ϕ+θ 2 cos ϕθ 2  

となる.

sinϕsinθ =2cos ϕ+θ 2 sin ϕθ 2 の公式の導出

積和の公式  sinαcosβ = 1 2 { sin( α+β )+sin( αβ ) } において, α= ϕθ 2 β= ϕ+θ 2   とおいて,代入すると,

  • sin ϕθ 2 cos ϕ+θ 2
  • = 1 2 sin( ϕθ 2 + ϕ+θ 2 )
  • +sin( ϕθ 2 ϕ+θ 2 )

= 1 2 { sinϕ+sin( θ ) }  

= 1 2 ( sinϕsinθ )  

したがって,

sinϕsinθ =2cos ϕ+θ 2 sin ϕθ 2  

となる.

cosϕ+cosθ =2cos ϕ+θ 2 cos ϕθ 2 の公式の導出

積和の公式  cosαcosβ = 1 2 {cos( α+β )+cos( αβ ) } において, α= ϕ+θ 2 β= ϕθ 2   とおいて,代入すると,

  • cos ϕ+θ 2 cos ϕθ 2
  • = 1 2 cos( ϕ+θ 2 + ϕθ 2 )
  • +cos( ϕ+θ 2 ϕθ 2 )

= 1 2 ( cosϕ+cosθ )  

したがって,

cosϕ+cosθ =2cos ϕ+θ 2 cos ϕθ 2  

となる.

cosϕcosθ =2sin ϕ+θ 2 sin ϕθ 2 の公式の導出

積和の公式  sinαsinβ = 1 2 {cos( α+β )cos( αβ ) } において, α= ϕ+θ 2 β= ϕθ 2   とおいて,代入すると,

  • sin ϕ+θ 2 sin ϕθ 2
  • = 1 2 cos( ϕ+θ 2 + ϕθ 2 )
  • cos( ϕ+θ 2 ϕθ 2 )

= 1 2 ( cos ϕ cos θ )

したがって,

cosϕcosθ =2sin ϕ+θ 2 sin ϕθ 2  

となる.

 

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最終更新日: 2022年6月30日

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