積和の公式

$sin α cos β$ $= \frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}$ 　　⇒公式の導出

$cos α cos β$ $= \frac{1}{2} {cos (α + β) + cos (α - β)}$ 　⇒公式の導出

$sin α sin β$ $= - \frac{1}{2} {cos (α + β) - cos (α - β)}$ 　⇒公式の導出

■積和の公式の導出

$sin (α + β)$ $= sin α cos β + cos α sin β$ 　　･･････(1)

$sin (α - β)$ $= sin α cos β - cos α sin β$ 　　･･････(2)

である．(1)＋(2)より

$sin (α + β) + sin (α - β)$ $= 2 sin α cos β$ ･･････(3)

(3)を変形して

$sin α cos β$ $= \frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}$

が得られる．

$cos (α + β)$ $= cos α cos β - sin α sin β$ 　　･･････(4)

$cos (α - β)$ $= cos α cos β + sin α sin β$ 　　･･････(5)

である．(4)＋(5)より

$cos (α + β) + cos (α - β)$ $= 2 cos α cos β$ 　　･･････(6)

(6)を変形して

$cos α cos β$ $= \frac{1}{2} {cos (α + β) + cos (α - β)}$

が得られる．

$cos (α + β)$ $= cos α cos β - sin α sin β$ 　　･･････(4)

$cos (α - β)$ $= cos α cos β + sin α sin β$ 　　･･････(5)

である．(4)－(5)より，

$cos (α + β) - cos (α - β)$ $= - 2 sin α sin β$ 　　･･････(7)

(7)を変形して

$sin α sin β$ $= - \frac{1}{2} {cos (α + β) - cos (α - β)}$

が得られる．

最終更新日 2023年3月2日