ヤングの干渉実験

図のように,光源から出て単スリット S を通った波長 λ の単色光は,複スリット S1 S2 で回折し,光波は S1 S2 を新たな2つの波源として干渉し,スクリーン上の点 P で回折像(明暗の干渉縞)を生じる.

複スリットの間隔 S1S2 ¯ =d ,複スリットからスクリーンまでの距離 HO ¯ =l ,スクリーン上の原点 O から点 P までの距離 OP¯ =x を用いて,明線と暗線の位置は次式で表される.

明線の位置: x=m lλd
暗線の位置: x= m+12 lλd

(整数 m=0, ±1, ±2,

ここで, SS1 ¯ = SS2 ¯ S1O ¯ = S2O ¯ である.また,実際の距離は概ね d1mm x1mm 1cm l1m 程度であり, ld,x なので,図では平行に見えないが線分 S1P S2P はほぼ平行とみなせる.

スクリーン上の原点 O の位置は明るい縞模様となる.原点 O から m 番目, m+1 番目までの明線の位置を xm xm+1 とすると,明線の間隔は

Δx= xm+1 xm = m+1 lλd mlλd = lλd = 一定

となる.したがって, l , d , Δx を測定すれば,

λ = dΔxl

より光の波長 λ が求まる.


光路差 Δl= l1l2 を求め,干渉条件(明線と暗線が生じる条件)を考えよう.三平方の定理より

S1P ¯ = l1 = l2 + x+d22 =l 1+ x+d/2l 2 12   ---(1)
S2P ¯ = l2 = l2 + xd22 =l 1+ xd/2l 2 12   ---(2)

であり, a1 のときの近似式* (1+a) 12 1+12 a を用いると,式(1),(2)は

(1) ⇒ l1 l 1+12 x+d/2l 2 =l+12l x2+xd+ d24   ---(3)
(2) ⇒ l1 l 1+12 xd/2l 2 =l+12l x2xd+ d24   ---(4)

と近似できる.したがって,(3)-(4)より光路差は

Δl= l1l2 xd2l xd2l =dlx

と求まる.光路差が半波長の偶数倍であれば強め合って明線となり,奇数倍であれば弱め合って暗線となる.よって,干渉条件( m :整数)

明線: Δl =2mλ2 =mλ
暗線: Δl = (2m+1) λ2 =m+12λ

から,上述の明線と暗線の位置が求まる.


<光路差 Δl の別の求め方>

[a]

  式(1),(2)の2乗の差
     l12l22 = l2 + x+d22 l2 + xd22 =2xd
  ⇒   ( l1+l2 ) ( l1l2 ) =2xd
       Δl= l1l2 = 2xd l1+l2 2xd 2l =dlx ld,x より l1l2


[b]

  ld,x より S1P , S2P , HP は平行線とみなせるので OHPθ である.また, θ1 なので sinθtanθ =x/l と近似できる.したがって
  Δl= l1l2 dsinθdtanθ =dlx


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学生スタッフ作成

2022年6月6日