ドップラー効果 (Doppler effect)

音源 S と観測者 O が相対的に移動しているとき,観測者 O が観測する音源 S からの音の振動数 f Hz は音源本来の振動数 f0 Hz とは異なる現象が起きる.この現象をドップラー効果 (Doppler effect)といい,身近な例では,救急車が通り過ぎるときにサイレンの音の高さが変化して聞こえる,などがある.

ここでは,空気中の音の速さ V m/s として,以下の場合を考える.

  1. 音源だけが動く(観測者は静止)場合
  2. 観測者だけが動く(音源は静止)場合
  3. 音源も観測者も動く場合
  4. 風が吹いている場合
  5. 音源または観測者が斜めに動く場合
  6. 反射壁(板)がある場合

1. 音源 S だけが動く(観測者は静止)場合

音源 S と観測者 O を結ぶ直線上で, S から O への向きを正として S が速度 vS m/s v S V )で動いているとき, O が観測する音の振動数 f Hz は次式で与えられる.

f= V VvS f0   --- (1)



2. 観測者 O だけが動く(音源は静止)場合

音源 S と観測者 O を結ぶ直線上で, S から O への向きを正として O が速度 vO m/s v O V )で動いているとき, O が観測する音の振動数 f Hz は次式で与えられる.

f= VvO V f0   --- (2)



3. 音源 S も観測者 O も動く場合

音源 S と観測者 O を結ぶ直線上で, S から O への向きを正として S が速度 vS m/s v S V ), O が速度 vO m/s v O V )で動いているとき, O が観測する音の振動数 f Hz は次式で与えられる.

f= VvO VvS f0   --- (3)

上の(3)式において vO=0 とおくと(1)式となり, vS=0 とおくと(2)式となる.



4. 風が吹いている場合

音源 S と観測者 O を結ぶ直線に沿って,一様な風が吹いて媒質(空気)全体が一定の速さ Vw m/s Vw V ) で動いている場合,地面に静止している立場から見ると,音は風と同じ向きには V+Vw の速さで,風と逆向きには VVw の速さで伝わる. S から O への向きを正として S の速度と O の速度をそれぞれ vS m/s vO m/s とすると, O が観測する音の振動数 f Hz は次式で与えられる.

S に対して O が風下の場合:
f= V+Vw vO V+Vw vS f0   --- (4)

S に対して O が風上の場合:
f= VVw vO VVw vS f0   --- (5)



5. 音源 S または観測者 O が斜めに動く場合

図のように音源 S が観測者 O を結ぶ直線 OS と角 θ の方向に速さ vS で進む場合を考える.

S の速度 vS を, OS 方向成分 vS =vS cosθ (視線速度)と OS 方向に垂直な成分 vS = vS sinθ に分解すると,ドップラー効果に効いてくるのは視線速度 vS のみであり,音源 S のみが動く場合の式(1)から,観測者 O が観測する音の振動数 f Hz は次式で与えられる.

f= V V vS f0 = V V vScosθ f0   --- (6)

観測者 O が斜めに動く場合も同様で, O が直線 OS と角 θ の方向に速さ vO で進む場合,速度の OS 方向成分 vO =vO cosθ のみがドップラー効果に効く.このとき,観測者 O のみが動く場合の式(2)から,観測者 O が観測する音の振動数 f Hz は次式で与えられる.

f= V vO V f0 = V vOcosθ V f0   --- (7)



6. 反射壁(板)がある場合

■ 静止した反射壁 R に対して音源 S が速さ vS m/s で動く場合

図のように反射壁 R ,音源 S ,観測者 O の順に並び,直線 OS R の面は垂直とする.

振動数 f0 Hz の音を発する S OS 方向を R に向かって速さ vS m/s で近づくとき, O S から直接聞く音の振動数 f1 Hz は,音源 S のみが動く場合の式(1)から次式となる.

f1= V V+vS f0

一方,壁からの反射音の振動数 f2 Hz は,壁を観測者と考えたときに壁が受け取る音の振動数であるので次式となる.

f2= V VvS f0

これは,あたかも同じ振動数の音源 S が壁の向こうから O に向かって速さ vS m/s で近づいたと考えたときの O が聞く音の振動数である.このとき, O が観測する1秒間のうなりの回数 n は次式で与えられる.

n=f2 f1 = V VvS f0 V V+vS f0 = 2V2 (V vS) (V+ vS) f0   --- (8)


■ 静止した音源 S に対し反射壁 R が速度 vR m/s で動く場合

図のように反射壁 R ,音源 S ,観測者 O の順に並び,直線 OS R の面は垂直とする.

R OS 方向を,振動数 f0 Hz の音を発する S に向かって速さ vR m/s で近づくとき,壁を観測者と考えたときに壁が受け取る音の振動数 f1 Hz は,観測者 O のみが動く場合の式(2)から次式となる.

f1= V+vR V f0

R は受け取った音を反射する,つまり音源として観測者 O に向かって発するので, O が観測する反射した音の振動数 f2 Hz は,音源 S のみが動く場合の式(1)から次式となる.

f2= V VvR f1 = V+vR VvR f0   --- (9)

このとき, O が観測する1秒間のうなりの回数 n は次式で与えられる.

n=f2 f0 = V+vR VvR f0 f0 = 2vR VvR f0   --- (10)




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2022年1月18日