2体連成振動

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運動を初期位置に

2体連成振動

3つのバネで連結した2つの物体の運動

左壁と物体Aを結ぶバネをバネ1，物体間を結ぶバネをバネ2，物体Bと右壁を結ぶバネをバネ3とし，それぞれの間には物体の速度に比例する抵抗力を与えるダンパーが存在するとする．

物体A（質量 $m_{A}$ 〔kg〕）と物体B（質量 $m_{B}$ 〔kg〕）の運動方程式

$m_{A} \frac{d^{2} x_{A}}{d t^{2}} = - k_{1} x_{A} - k_{2} (x_{A} - x_{B}) - b_{1} v_{A} - b_{2} (v_{A} - v_{B})$

$m_{B} \frac{d^{2} x_{B}}{d t^{2}} = - k_{2} (x_{B} - x_{A}) - k_{3} x_{B} - b_{2} (v_{B} - v_{A}) - b_{3} v_{B}$

$x_{A}, x_{B}$ 〔m〕：物体A，物体Bの変位
$v_{A}, v_{B}$ 〔m/s〕：物体A，物体Bの速度
$k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 〔N/m〕：バネの弾性定数
$b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 〔N・s/m〕：ダンパーの減衰定数

ダンパーで消費される単位時間当たりのエネルギー〔J/s〕

$- \frac{d E}{d t} = b_{1} v_{A}^{2} + b_{2} {(v_{A} - v_{B})}^{2} + b v_{B}^{2}$

$x_{A} = C_{A} e^{α t}$ ， $x_{B} = C_{B} e^{α t}$ とおき，運動方程式に代入して整理すると次の連立方程式を得る．

$m_{A} α^{2} C_{A} + (b_{1} + b_{2}) α C_{A} + (k_{1} + k_{2}) C_{A} - b_{2} α C_{B} - k_{2} C_{B} = 0$

$- b_{2} α C_{A} - k_{2} C_{A} + m_{B} α^{2} C_{B} + (b_{2} + b_{3}) α C_{B} + (k_{2} + k_{3}) C_{B} = 0$

上の2式を行列で表すと次式となる．

$(\begin{matrix} m_{A} α^{2} + (b_{1} + b_{2}) α + k_{1} + k_{2} & - b_{2} α - k_{2} \\ - b_{2} α - k_{2} & m_{B} α^{2} + (b_{2} + b_{3}) α + k_{2} + k_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} C_{A} \\ C_{B} \end{matrix}) = 0$

非自明な解をもつ条件は

$| \begin{matrix} m_{A} α^{2} + (b_{1} + b_{2}) α + k_{1} + k_{2} & - b_{2} α - k_{2} \\ - b_{2} α - k_{2} & m_{B} α^{2} + (b_{2} + b_{3}) α + k_{2} + k_{3} \end{matrix} | = 0$