微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\sqrt[3]{4-x^2}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{2x}{3\sqrt[3]{{\left(4-x^2\right)}^2}}}$

■ヒント

合成関数の微分より

${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle y=\sqrt[3]{4-x^2}}$

（計算しやすいように，式を 指数を用いた形に変形する）

${\displaystyle ={\left(4-x^2\right)}^{\frac{1}{3}}}$

（${\displaystyle \sqrt[3]{4-x^2}={\left(4-x^2\right)}^{\frac{1}{3}}}$）

${\displaystyle y=f(u)=u^{\frac{1}{3}}}$，${\displaystyle u=g(x)=4-x^2}$

とおくと

${\displaystyle y=f(g(x))}$

となる．

合成関数の公式を適用すると

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{3}{\left(4-x^2\right)}^{\frac{1}{3}-1}{\left(4-x^2\right)}^{\prime }}$

(基本となる関数の導関数を参照)

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left(4-x^2\right)}^{-\frac{2}{3}}·\left(-2x\right)}$${\displaystyle =-\frac{2x}{3\sqrt[3]{{\left(4-x^2\right)}^2}}}$

●別解

${\displaystyle y=\sqrt[3]{4-x^2}}$

を

${\displaystyle y=\sqrt[3]{u}}$，${\displaystyle u=4-x^2}$

とおく

${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{d}{du}\left(\sqrt[3]{u}\right)=\frac{d}{du}(u^{\frac{1}{3}})=\frac{1}{3}{u}^{-\frac{2}{3}}}}}$

${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\left(4-x^2\right)=-2x}$

よって

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}=\frac{1}{3}{u}^{-\frac{2}{3}}·\left(-2x\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left(4-x^2\right)}^{-\frac{2}{3}}\cdot \left(-2x\right)}$

（ ${\displaystyle u=4-x^2}$ と置き換えていたのを元に戻す）

${\displaystyle =-\frac{2x}{3\sqrt[3]{{\left(4-x^2\right)}^2}}}$

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最終更新日： 2023年10月9日