微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\left(3x^2-1\right)tan\frac{1}{2x}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=6x\tan \frac{1}{2x}-\frac{3x^2-1}{2x^2{\cos }^2\frac{1}{2x}}}$  

■ヒント

関数の積の微分より

${\displaystyle {\left\{g\left(x\right)h\left(x\right)\right\}}^{\prime }}$ ${\displaystyle =g^{\prime }\left(x\right)h\left(x\right)+g\left(x\right)h^{\prime }\left(x\right)}$

の式を用いる．

■解説

${\displaystyle y=\left(3x^2-1\right)tan\frac{1}{2x}}$

${\displaystyle y^{\prime }={\left(3x^2-1\right)}^{\prime }\tan \frac{1}{2x}}$ ${\displaystyle +\left(3x^2-1\right){\left(\tan \frac{1}{2x}\right)}^{\prime }}$

(関数の積の微分を参照)

${\displaystyle =6x\tan \frac{1}{2x}}$ ${\displaystyle +\left(3x^2-1\right)\left(-\frac{1}{2x^2{\cos }^2\frac{1}{2x}}\right)}$

( ${\displaystyle tan\frac{1}{2x}}$ の微分は合成関数の導関数を利用して計算する⇒ここを参照)

${\displaystyle =6xtan\frac{1}{2x}-\frac{3x^2-1}{2x^2{cos}^2\frac{1}{2x}}}$

　

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最終更新日： 2023年10月7日