微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=tan\frac{1}{2x}}$

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■答

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{1}{2x^2{\cos }^2\frac{1}{2x}}}$

■ヒント

${\displaystyle {\left(tanx\right)}^{\prime }=\frac{1}{{cos}^{2}x}}$ ここを参照

の式を用いる．

■解き方

${\displaystyle y=tan\frac{1}{2x}}$

合成関数の導関数を参照

${\displaystyle u=\frac{1}{2x}}$ とおく

${\displaystyle {\displaystyle y=tanu}}$

${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{du}}={\left(\tan u\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle ={\left(\frac{\sin u}{\cos u}\right)}^{\prime }}$ 三角関数の相互関係を参照

${\displaystyle =\frac{{\left(sinu\right)}^{\prime }cosu-sinu{\left(cosu\right)}^{\prime }}{{cos}^{2}u}}$ 商の微分を参照

${\displaystyle =\frac{{sin}^{2}u+{cos}^{2}u}{{cos}^{2}u}}$

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^{2}u}}$ 三角関数の相互関係を参照

${\displaystyle \frac{du}{dx}={\left(\frac{1}{2x}\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left(x^{-1}\right)}^{\prime }}$ 定数倍の微分，指数が負の整数を参照

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(-1\cdot x^{-2}\right)}$ べき関数の微分を参照

${\displaystyle =-\frac{1}{2x^2}}$

よって

${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=\frac{dy}{\mathit{du}}·\frac{\mathit{du}}{dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^{2}u}·\left(-\frac{1}{2x^2}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2x^2{cos}^{2}u}}$

変数を $u$ から $x$ に戻す．

${\displaystyle =-\frac{1}{2x^2{cos}^2\frac{1}{2x}}}$

●合成関数の微分の公式 ${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$ を使う場合

この計算は微分の計算に慣れた方向けである．

${\displaystyle {\left(\tan \frac{1}{2x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2\frac{1}{2x}}\cdot {\left(\frac{1}{2x}\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle =\frac{1}{{\cos }^2\frac{1}{2x}}\cdot \left(-\frac{1}{2x^2}\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{2x^2{\cos }^2\frac{1}{2x}}}$

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最終更新日： 2025年2月20日