媒介変数表示の問題

■問題

x ，yが次のような式で表される時，点P${\displaystyle \left(x,y\right)}$はどのような図形を描くか．

${\displaystyle x=5cos\theta +2}$,${\displaystyle y=2sin\theta -3}$

■答

${\displaystyle \frac{{\left(x-2\right)}^2}{5^2}+\frac{{\left(y+3\right)}^2}{2^2}=1}$  で表される楕円を描く．

■ヒント

媒介変数の${\displaystyle t}$ を消去する．

■解説

${\displaystyle x=5cos\theta +2}$ より

${\displaystyle cos\theta =\frac{1}{5}\left(x-2\right)}$

${\displaystyle y=2sin\theta -3}$ より

${\displaystyle sin\theta =\frac{1}{2}\left(y+3\right)}$

これらを ${\displaystyle {sin}^2\theta +{cos}^2\theta =1}$ に代入する．

${\displaystyle \frac{1}{4}{\left(y+3\right)}^2+\frac{1}{25}{\left(x-2\right)}^2=1}$

${\displaystyle \frac{{\left(x-2\right)}^2}{5^2}+\frac{{\left(y+3\right)}^2}{2^2}=1}$　･･････(1)

となる．(1)は楕円の方程式である．従って楕円を描く．

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2024年9月13日