微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=log\left|\frac{1-2x}{1+2x}\right|}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{4}{\left(1+2x\right)\left(1-2x\right)}}$

（あるいは　${\displaystyle y^{\prime }=-2\left(\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{1+2x}\right)}$）

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

${\displaystyle y=log\left|\frac{1-2x}{1+2x}\right|}$ を

${\displaystyle y=\log u}$，${\displaystyle u=\frac{1-2x}{1+2x}}$

と置き，合成関数の導関数の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{1}{u}}$

${\displaystyle =\frac{-2\left(1+2x\right)-2\left(1-2x\right)}{{\left(1+2x\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{4}{{\left(1+2x\right)}^2}}$

よって

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{u}\left(-\frac{4}{{\left(1+2x\right)}^2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{1-2x}{1+2x}}\cdot \left(-\frac{4}{{\left(1+2x\right)}^2}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{4\left(1+2x\right)}{{\left(1+2x\right)}^2\left(1-2x\right)}}$

${\displaystyle =-\frac{4}{\left(1+2x\right)\left(1-2x\right)}}$

●別解

対数の性質を使って式を変形してから微分する．

${\displaystyle y=\log \left|\frac{1-2x}{1+2x}\right|}$

${\displaystyle =\log \frac{\left|1-2x\right|}{\left|1+2x\right|}}$

${\displaystyle =\log \left|1-2x\right|-\log \left|1+2x\right|}$

対数のこの性質を用いる．

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{1-2x}{\left(1-2x\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle -\frac{1}{1+2x}{\left(1+2x\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =\frac{1}{1-2x}\cdot \left(-2\right)-\frac{1}{1+2x}\cdot 2}$

${\displaystyle =-2\left(\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{1+2x}\right)}$

${\displaystyle =-2\cdot \frac{\left(1+2x\right)+\left(1-2x\right)}{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}}$

${\displaystyle =-2\cdot \frac{2}{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}}$

${\displaystyle =-\frac{4}{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}}$

　

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最終更新日： 2023年10月9日