微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=3\cdot 5{}^{x^4-3x}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=3\cdot 5^{x^4-3x}\left(4x^3-3\right)\log 5}$ 

■ヒント

指数関数の底を${\displaystyle e}$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

${\displaystyle {\left(a^x\right)}^{\prime }={\left(e^{\log a^x}\right)}^{\prime }=e^{x\log a}}$

の式を用いる．

また，合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle y=3\cdot 5^{x^4-3x}=3\cdot e^{\left(x^4-3x\right)\log 5}}$

${\displaystyle u=\left(x^4-3x\right)\log 5}$とおく.

${\displaystyle y=e^u}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =3e^u\cdot \left(4x^3-3\right)\log 5}$

${\displaystyle =3e^{\left(x^4-3x\right)\log 5}\cdot \left(4x^3-3\right)\log 5}$

${\displaystyle =3\cdot 5^{x^4-3x}\cdot \left(4x^3-3\right)\log 5}$

${\displaystyle \left(\because e^{\left(x^4-3x\right)\log 5}=e^{\log 5^{x^4-3x}}=5^{x^4-3x}\right)}$

の両辺の自然対数をとる．

${\displaystyle \log y=\log 3\cdot 5^{x^4-3x}}$

対数の定義より

${\displaystyle \log y=\log 3+\left(x^4-3x\right)\log 5}$

両辺を${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{1}{y}\cdot \frac{d}{dx}=\left(4x^3-3\right)\log 5}$

【備考】

${\displaystyle z=\log y}$

とおく．

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\log y\right)=\frac{dz}{dx}}$${\displaystyle =\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =\frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle z}$ を

${\displaystyle z=\log y}$，${\displaystyle y=7^{x^3-x}}$  

の合成関数と考えている．

　

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最終更新日： 2023年10月9日