微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ.

y= 7 x 3 x

■答

y = 7 x 3 x ( 3 x 2 1 )log7  

■ヒント

指数関数の底を e に変換してから指数関数の微分の公式より,微分する.

( a x ) = ( e log a x ) = e xloga      

の式を用いる.

そして,合成関数の微分の公式を利用して解く.

あるいは,対数微分法を用いる方法もある.

■解説

y= 7 x 3 x = e ( x 3 x )log7

u=( x 3 x )log7 とおく.

y= e u

y = dy du · du dx

= e u ·( 3 x 2 1 )log7

= e ( x 3 x )log7 ·( 3 x 2 1 )log7

= 7 x 3 x ( 3 x 2 1 )log7

e ( x 3 x )log7 = e log 7 x 3 x = 7 x 3 x

●別解

対数微分法を用いる.

y= 7 x 3 x

の両辺の自然対数をとる.

logy=log 7 x 3 x

logy=( x 3 x)log7

両辺を x で微分する.

d dx ( logy )= d dx { ( x 3 x )log7 }

1 y · dy dx =( 3 x 2 1 )log7

dy dx =y·( 3 x 2 1 )log7= 7 x 3 x log7

【備考】

z=logy

とおく.

d dx ( logy )= dz dx = dz dy dy dx = 1 y dy dx

z

z=logy y= 7 x 3 x  

の合成関数と考えている.

 

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最終更新日: 2023年10月9日