微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=7^{x^3-x}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=7^{x^3-x}\left(3x^2-1\right)\log 7}$ 

■ヒント

指数関数の底を${\displaystyle e}$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

${\displaystyle {\left(a^x\right)}^{\prime }={\left(e^{\log a^x}\right)}^{\prime }=e^{x\log a}}$

の式を用いる．

そして，合成関数の微分の公式を利用して解く．

あるいは，対数微分法を用いる方法もある．

■解説

${\displaystyle y=7^{x^3-x}}$ ${\displaystyle =e^{\left(x^3-x\right)\log 7}}$

${\displaystyle u=\left(x^3-x\right)\log 7}$とおく.

${\displaystyle y=e^u}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =e^u·\left(3x^2-1\right)\log 7}$

${\displaystyle =e^{\left(x^3-x\right)\log 7}·\left(3x^2-1\right)\log 7}$

${\displaystyle =7^{x^3-x}\left(3x^2-1\right)\log 7}$

（${\displaystyle \because e^{\left(x^3-x\right)\log 7}=e^{\log 7^{x^3-x}}=7^{x^3-x}}$ ）

●別解

対数微分法を用いる．

${\displaystyle y=7^{x^3-x}}$

の両辺の自然対数をとる．

${\displaystyle \log y=\log 7^{x^3-x}}$

${\displaystyle \log y=(x^3-x)\log 7}$

両辺を${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\log y\right)=\frac{d}{dx}\left\{\left(x^3-x\right)\log 7\right\}}$

${\displaystyle \frac{1}{y}·\frac{dy}{dx}=\left(3x^2-1\right)\log 7}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=y·\left(3x^2-1\right)\log 7=7^{x^3-x}\log 7}$

【備考】

${\displaystyle z=\log y}$

とおく．

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\log y\right)=\frac{dz}{dx}}$${\displaystyle =\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =\frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle z}$ を

${\displaystyle z=\log y}$，${\displaystyle y=7^{x^3-x}}$  

の合成関数と考えている．

　

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最終更新日： 2023年10月9日