極値の問題

■問題

次の関数の極値を求め、そのグラフをかけ．

${\displaystyle f(x)=-x^3-3x^2+5}$

■答

${\displaystyle x=-2}$ のとき，極小値${\displaystyle f(-2)=1}$

${\displaystyle x=0}$ のとき，極大値${\displaystyle f(0)=5}$

■解説

${\displaystyle f(x)=-x^3-3x^2+5}$

${\displaystyle f\text{'}(x)=-3x^2-6x}$

${\displaystyle =-3x(x+2)}$

${\displaystyle f\prime (x)=0}$ とすると，${\displaystyle x=-2,0}$

${\displaystyle f(x)}$ における増減表を次のようになる．

よって， ${\displaystyle x=-2}$ のとき極小となり，極小値は

${\displaystyle f(-2)=-{(-2)}^3-3{(-2)}^2+5=1}$

である．${\displaystyle x=0}$ のとき極大となり，極大値は

${\displaystyle f(0)=5}$

である．また， ${\displaystyle f(x)}$ のグラフは次のようになる．

　

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最終更新日： 2023年10月9日