極値の問題

■問題

次の関数の極値を求め、そのグラフをかけ．

${\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x-4}$

■答

${\displaystyle x=1}$ のとき，極大値${\displaystyle f(1)=0}$

${\displaystyle x=3}$ のとき，極小値${\displaystyle f(3)=-4}$

■解説

${\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x-4}$

${\displaystyle f"(x)=3x^2-12x+9}$

${\displaystyle =3(x^2-4x+3)}$

${\displaystyle =3(x-1)(x-3)}$

${\displaystyle f\prime (x)=0}$ とすると，${\displaystyle x=1,3}$

${\displaystyle f(x)}$ における増減表を次のようになる．

よって， ${\displaystyle x=1}$ のとき極大となり，極大値は

${\displaystyle f(1)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1-4=0}$

である．${\displaystyle x=3}$ のとき極小となり，極小値は

${\displaystyle f(3)=3^3-6{\cdot 3}^2+9\cdot 3-4=-4}$

である．また， ${\displaystyle f(x)}$ のグラフは次のようになる．

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最終更新日： 2023年10月9日