極値の問題

■問題

関数${\displaystyle f(x)=x^3+a{x}^2+bx-3}$ が${\displaystyle x=-1}$ で極大， ${\displaystyle x=3}$ で極小となるとき， ${\displaystyle a}$ と${\displaystyle b}$ の値を求めよ．また，極値を求めよ．

■答

${\displaystyle a=-3}$ ， ${\displaystyle b=-9}$

${\displaystyle x=-1}$ のとき，極大値${\displaystyle f(-1)=2}$

${\displaystyle x=3}$ のとき，極小値${\displaystyle f(3)=-30}$

■ヒント

${\displaystyle x=-1}$ ，${\displaystyle x=3}$に極値があるため

${\displaystyle f^{\prime }\left(-1\right)=0}$ ，${\displaystyle f^{\prime }\left(3\right)=0}$

が成り立つ．

■解説

${\displaystyle f(x)=3x^3+a{x}^2+bx-3}$から

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+2ax+b}$

${\displaystyle x=-1}$ で極大値，${\displaystyle x=3}$ で極小値をとるため

${\displaystyle f^{\prime }\left(-1\right)=0}$ ，${\displaystyle f^{\prime }\left(3\right)=0}$

が成り立つ．

${\displaystyle f^{\prime }\left(-1\right)=3-2a+b=0}$  ･･････(1)

${\displaystyle f^{\prime }\left(3\right)=27+6a+b=0}$  ･･････(2)

(1)，(2)からなる連立方程式を解く

(1)-(2)より

${\displaystyle -24-8a=0}$

${\displaystyle a=-3}$

${\displaystyle a=-3}$ を(1)に代入する．

${\displaystyle 3-2\left(-3\right)+b=0}$

${\displaystyle b=-9}$

したがって

${\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x-3}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x-9}$

${\displaystyle =3(x^2-2x-3)}$

${\displaystyle =3(x+1)(x-3)}$

となるため，増減表を次のようになる．

よって，${\displaystyle x=-1}$ で極大， ${\displaystyle x=3}$ で極小となり条件を満たす．ゆえに，${\displaystyle a=-3}$ ， ${\displaystyle b=-9}$となる．

${\displaystyle x=-1}$ のとき，極大値は

${\displaystyle f(-1)}$ ${\displaystyle ={(-1)}^3-3{(-1)}^2-9(-1)-3}$ ${\displaystyle =2}$

である．

${\displaystyle x=3}$ のとき，極小値は

${\displaystyle f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot 3-3=-30}$

である．

　

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最終更新日： 2025年11月28日