極値の問題

■問題

関数 ${\displaystyle f(x)=2x^3-2a{x}^2-bx+a^2-10}$ が ${\displaystyle x=1}$ で極小値 ${\displaystyle 10}$ をとるとき， ${\displaystyle a}$ と ${\displaystyle b}$ の値を求めよ．また、極大値を求めよ．

■答

${\displaystyle a=-6,b=30}$

${\displaystyle x=-5}$ のとき，極大値 ${\displaystyle f(-5)=226}$

■ヒント

${\displaystyle x=1}$ で極小値 ${\displaystyle 10}$ をとるため

${\displaystyle f^{\prime }\left(1\right)=0}$ ， ${\displaystyle f(1)=10}$

が成り立つ．

■解説

${\displaystyle f(x)=2x^3-2a{x}^2-bx+a^2-10}$ から

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-4ax-b}$

${\displaystyle x=1}$ で極小値 ${\displaystyle 10}$ をとるため

${\displaystyle f^{\prime }\left(1\right)=0}$ より

${\displaystyle f^{\prime }\left(1\right)=6-4a-b=0}$   ･･････(1)

${\displaystyle f(1)=10}$ より

${\displaystyle f(1)=a^2-2a-b-8=10}$   ･･････(2)

(1)と(2)からなる連立方程式を解く

(1)より

${\displaystyle b=-4a+6}$ ･･････(3)

(3)を(2)に代入する．

${\displaystyle a^2-2a-\left(-4a+6\right)-8=10}$

${\displaystyle a^2+2a-24=0}$

${\displaystyle \left(a+6\right)\left(a-4\right)=0}$

${\displaystyle a=-6,4}$

$a=-6$ を(3)に代入する

${\displaystyle b=-4\left(-6\right)+6=30}$

$a=4$ を(3)に代入する．

${\displaystyle b=-4\cdot 4+6=-10}$

よって

${\displaystyle (a,b)=(-6,30),(4,-10)}$

${\displaystyle a=-6,b=30}$ のとき

${\displaystyle f(x)=2x^3+12x^2-30x+26}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=6x^2+24x-30}$

${\displaystyle =6(x^2+4x-5)}$

${\displaystyle =6(x+5)(x-1)}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ とすると， ${\displaystyle x=-5,1}$

となるため，増減表を次のようになる．

よって， ${\displaystyle x=1}$ で極小値 ${\displaystyle 10}$ をとり条件を満たす．

また， ${\displaystyle x=-5}$ のとき，極大値は

${\displaystyle f(-5)}$ ${\displaystyle =2\cdot {(-5)}^3+12\cdot 5^2-30\cdot (-5)+26}$ ${\displaystyle =226}$

となる．

${\displaystyle a=4,b=-10}$ のとき

${\displaystyle f(x)=2x^3-8x^2+10x+6}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-16x+10}$

${\displaystyle =2(3x^2-8x+5)}$

${\displaystyle =2(x-1)(3x-5)}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ とすると， ${\displaystyle x=1,\frac{5}{3}}$

となるため，増減表を次のようになる．

${\displaystyle x=1}$ は極大値となるため， ${\displaystyle x=1}$ で極小値 ${\displaystyle 10}$ の条件を満たさない．

以上より， ${\displaystyle a=-6,b=30}$ となる．

　

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最終更新日： 2025年11月28日