極値の問題

■問題

関数${\displaystyle f(x)=2x^3-2a{x}^2-bx+a^2-10}$ が${\displaystyle x=1}$ で極小値${\displaystyle 10}$ をとるとき，${\displaystyle a}$ と${\displaystyle b}$ の値を求めよ．また、極大値を求めよ．

■答

${\displaystyle a=-6,b=30}$

${\displaystyle x=-5}$ のとき，極大値${\displaystyle f(-5)=226}$

■ヒント

${\displaystyle x=1}$ で極小値${\displaystyle 10}$をとるため

${\displaystyle f{\prime }^{}\left(1\right)=0}$，${\displaystyle f(1)=10}$

が成り立つ．

■解説

${\displaystyle f(x)=2x^3-2a{x}^2-bx+a^2-10}$から

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-4ax-b}$

${\displaystyle x=1}$ で極小値${\displaystyle 10}$をとるため

${\displaystyle f^{\prime }\left(1\right)=0}$より

${\displaystyle f"(1)=6-4a-b=0}$  ･･････(1)

${\displaystyle f(1)=10}$より

${\displaystyle f(1)=a^2-2a-b-8=10}$  ･･････(2)

(1),(2)を解くと，${\displaystyle (a,b)=(-6,30),(4,-10)}$

${\displaystyle a=-6,b=30}$ のとき

${\displaystyle f(x)=2x^3+12x^2-30x+26}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=6x^2+24x-30}$

${\displaystyle =6(x^2+4x-5)}$

${\displaystyle =6(x+5)(x-1)}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ とすると，${\displaystyle x=-5,1}$

となるため，増減表を次のようになる．

よって，${\displaystyle x=1}$で極小値${\displaystyle 10}$をとり条件を満たす．

また，${\displaystyle x=-5}$ のとき，極大値は

${\displaystyle f(-5)}$ ${\displaystyle =2\cdot {(-5)}^3+12\cdot 5^2-30\cdot (-5)+26}$ ${\displaystyle =226}$

となる．

${\displaystyle a=4,b=-10}$ のとき

${\displaystyle f(x)=2x^3-8x^2+10x+6}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-16x+10}$

${\displaystyle =2(3x^2-8x+5)}$

${\displaystyle =2(x-1)(3x-5)}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ とすると，${\displaystyle x=1,\frac{5}{3}}$

となるため，増減表を次のようになる．

${\displaystyle x=1}$は極大値となるため，${\displaystyle x=1}$で極小値${\displaystyle 10}$の条件を満たさない．

以上より，${\displaystyle a=-6,b=30}$となる．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>極値問題>>${\displaystyle f(x)=2x^3-2a{x}^2-bx+a^2-10}$の極値

最終更新日： 2023年10月9日