増減表を用いた最大値問題

■問題

1辺が24cmの正方形の厚紙の4隅から同じ大きさの正方形を切り取り，残った部分を折り曲げて，底面が正方形のふたのない容器をつくる．この容器の容積の最大値を求めよ．

■答

容積の最大値は $1024$ cm³

■ヒント

切り取る正方形の1辺の長さを $x$ cmとし，容積 $V$ cm³を $x$ cmの関数として表す．

増減表を利用する．

• 展  開  図

• 鳥瞰 ちょうかん   図

■解説

切り取る正方形の1辺の長さを $x$ cm，容器の容積を$V$ cm³とする．容器の底面の正方形の1辺の長さは${\displaystyle 24-2x}$ cmであるから，$x$ のとり得る値の範囲は${\displaystyle 0<x<12}$ である． このとき，容器の容積 $V$ は

${\displaystyle V\text{=}{\left(24-2x\right)}^{2}x}$ ${\displaystyle =4{\left(12-x\right)}^{2}x}$ ${\displaystyle =4\left(x^3-24x^2+144x\right)}$   ･･････(1)

となる．

増減表を作るために，(1)を $x$ で微分すると

${\displaystyle V^{\prime }=4\left(3x^2-48x+144\right)}$ ${\displaystyle =4\cdot 3\left(x^2-16x+48\right)}$ ${\displaystyle =12\left(x-4\right)\left(x-12\right)}$

となる．

${\displaystyle 0<x<12}$ において，${\displaystyle V^{\prime }=0}$ となるのは， ${\displaystyle x=4}$ である．

${\displaystyle x=4}$ のとき， ${\displaystyle V=4{\left(12-4\right)}^2\cdot 4}$ ${\displaystyle =1024}$

以上の結果より，増減表を作成する．

容積の最大値は，増減表より $1024$ cm³となる．

このとき，容器の底面の正方形の1辺の長さは， ${\displaystyle 24-2\cdot 4=16}$ cm，高さは $4$ cmである．

　

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最終更新日： 2026年10月16日