複素数の回転

■問題

$\alpha =2+i$とする． 複素平面において，点$\alpha$を原点を中心として反時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ 回転した点を表す複素数$\beta$と，時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めよ．

■答

${\displaystyle \beta =\sqrt{3}-\frac{1}{2}+\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i}$

${\displaystyle \gamma =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(3-i\right)}$

■ヒント

複素数の積，複素数の商の特徴を利用する．

■解説

原点を中心として反時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ 回転させるには，複素数の積の特徴から，絶対値が $1$ で偏角が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$の複素数を掛けるとよい．すなわち

${\displaystyle \cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}}$

を$\alpha$にかけるとよい．よって

${\displaystyle \beta =\alpha \left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)}$

${\displaystyle =\left(2+i\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)}$

${\displaystyle =\sqrt{3}+i+\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle =\sqrt{3}-\frac{1}{2}+\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i}$

原点を中心として時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ 回転させるには，複素数の積の特徴から，絶対値が $1$ で偏角が${\displaystyle -\frac{\pi }{4}}$の複素数を掛けるとよい．すなわち

${\displaystyle \gamma =\alpha \left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)}$

${\displaystyle =\left(2+i\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)}$

${\displaystyle =\sqrt{2}-\sqrt{2}i+\frac{\sqrt{2}}{2}i+\frac{\sqrt{2}}{2}}$

${\displaystyle =\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(3-i\right)}$

 

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最終更新日：2025年12月5日