複素数に関する問題

1. 次の複素数の計算をせよ

   • (*) ${\displaystyle {\left(1+\sqrt{3}i\right)}^7}$   ⇒ 解答

   • (*) ${\displaystyle i^3}$   ⇒ 解答

   • (*) ${\displaystyle \left(i+2\right)\left(4+i\right)}$  ⇒ 解答

   • (*) ${\displaystyle \frac{3+2i}{2-3i}}$ ⇒ 解答

   • (*) ${\displaystyle {\left(2+i\right)}^2{\left(4-2i\right)}^2}$ ⇒解答

   • (*) ${\displaystyle \frac{2+i}{3+2i}-\frac{6+2i}{3-2i}}$ ⇒解答

   • (*) ${\displaystyle 4+\sqrt{-3}-\left(3-\sqrt{-3}\right)}$ ⇒解答

   • (*) ${\displaystyle \left(3+\sqrt{-5}i\right)\left(2-\sqrt{-5}i\right)}$ ⇒解答
2. 次の式を極形式で示せ．

   • (**) ${\displaystyle 1+\sqrt{3}i}$ ⇒解答

   • (**) ${\displaystyle 1-i}$ ⇒解答

   • (**) ${\displaystyle \left(1+\sqrt{3}i\right)\left(1-i\right)}$ ⇒解答

   • (**) ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{1-i}}$ ⇒ 解答
3. 次の複素数を計算せよ.

   • (***) ${\displaystyle {\left(1+\sqrt{3}i\right)}^9}$ ⇒解答

   • (***) ${\displaystyle {\left(1-i\right)}^{12}}$ ⇒解答

4. 複素数と図形

   1. $\alpha =2+i$ とする． 複素平面において，点 $\alpha$ を原点を中心として反時計回りに ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ 回転した点を表す複素数 $\beta$ と，時計回りに ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ 回転した点を表す複素数 $\gamma$ を求めよ．⇒解答
   2. $\alpha =1+3i$ ， $\beta =4+2i$ とする． 複素平面において，点 $\alpha$ と点 $\beta$ を結ぶ線分を $2:1$ に内分する点の複素数 ${\gamma }_1$ ， $3:2$ に外分する点の複素数 ${\gamma }_2$ ， $1:3$ に外分する点の複素数 ${\gamma }_3$ を 求めよ．⇒解答
   3. ${\displaystyle \alpha =3+i}$ ， ${\displaystyle \beta =1+2i}$ とする． 複素平面において，点 ${\displaystyle \beta }$ を原点と点 $\alpha$ を通る直線に関して対称移動した点の複素数 ${\displaystyle \gamma }$ を求めよ．⇒解答
   4. $\alpha =1+2i$ ， $\beta =4+3i$ とする． 複素平面において，点 $\alpha$ と点 ${\displaystyle \beta }$ の2点を通る直線の方程式の一般形（ ${\displaystyle \overline{\gamma }z+\gamma \overline{z}+c=0}$ ， $\gamma$ は複素数， $c$ は実数）を求めよ．⇒解答
   5. 複素平面において，直線 ${\displaystyle \left(4+3i\right)z-\left(4-3i\right)\overline{z}-24i=0}$ の実軸( $x$ 軸)との交点 $\alpha$ と虚軸（ $y$ 軸 ）との交点 $\beta$ を求めよ．⇒解答
   6. ${\displaystyle \alpha =2+5i}$ ， ${\displaystyle \beta =3i}$ ， ${\displaystyle \gamma =6+3i}$ とする． 複素平面において，点 $\alpha$ ，点 ${\displaystyle \beta }$ ，点 ${\displaystyle \gamma }$ の3点から等しい点に対応する複素数 $\omega$ を求めよ．⇒解答
   7. ${\displaystyle \omega =2zi+3}$ とする． 複素平面において，点 $z$ が直線 ${\displaystyle \left(1-i\right)z-\left(1+i\right)\overline{z}-2i=0}$ 上を動くとき，点 $\omega$ はどのような図形を描くか．⇒解答
   8. 複素平面において，方程式

      ${\displaystyle 3\left|z\right|=\left|z-8\right|}$

      を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ．⇒解答

   9. 複素平面において，方程式

      ${\displaystyle \left|z-4i\right|=2\left|z-3-i\right|}$

      を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ．⇒解答

 

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最終更新日： 2025年12月11日