複素数に関する問題

1. 次の複素数の計算をせよ

   • (*) ${\displaystyle {\left(1+\sqrt{3}i\right)}^7}$   ⇒ 解答

   • (*) ${\displaystyle i^3}$   ⇒ 解答

   • (*) ${\displaystyle \left(i+2\right)\left(4+i\right)}$  ⇒ 解答

   • (*) ${\displaystyle \frac{3+2i}{2-3i}}$ ⇒ 解答

   • (*) ${\displaystyle {\left(2+i\right)}^2{\left(4-2i\right)}^2}$ ⇒解答

   • (*) ${\displaystyle \frac{2+i}{3+2i}-\frac{6+2i}{3-2i}}$ ⇒解答

   • (*) ${\displaystyle 4+\sqrt{-3}-\left(3-\sqrt{-3}\right)}$ ⇒解答

   • (*) ${\displaystyle \left(3+\sqrt{-5}i\right)\left(2-\sqrt{-5}i\right)}$ ⇒解答
2. 次の式を極形式で示せ．

   • (**) ${\displaystyle 1+\sqrt{3}i}$ ⇒解答

   • (**) ${\displaystyle 1-i}$ ⇒解答

   • (**) ${\displaystyle \left(1+\sqrt{3}i\right)\left(1-i\right)}$ ⇒解答

   • (**) ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{1-i}}$ ⇒ 解答
3. 次の複素数を計算せよ.

   • (***) ${\displaystyle {\left(1+\sqrt{3}i\right)}^9}$ ⇒解答

   • (***) ${\displaystyle {\left(1-i\right)}^{12}}$ ⇒解答

4. 複素数と図形

   1. $\alpha =2+i$とする． 複素平面において，点$\alpha$を原点を中心として反時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ 回転した点を表す複素数$\beta$と，時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めよ．⇒解答
   2. 複素平面において，方程式

      ${\displaystyle 3\left|z\right|=\left|z-8\right|}$

      を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ．⇒解答

   3. 複素平面において，方程式

      ${\displaystyle \left|z-4i\right|=2\left|z-3-i\right|}$

      を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ．⇒解答

 

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最終更新日： 2025年12月5日