3点から等しい点(複素平面)

■問題

${\displaystyle \alpha =2+5i}$ ， ${\displaystyle \beta =3i}$ ， ${\displaystyle \gamma =6+3i}$ とする． 複素平面において，点 $\alpha$ ，点 ${\displaystyle \beta }$ ，点 ${\displaystyle \gamma }$ の3点から等しい距離の点に対応する複素数 $\omega$ を求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle \omega =3+2i}$

■ヒント

垂直二等分線

■解説

点 ${\displaystyle \omega }$ は，点 $\alpha$ と点 $\beta$ を結ぶ線分の垂直二等分線と点 $\beta$ と点 ${\displaystyle \gamma }$ の垂直二等分線の交点になる．

点 $\alpha$ と点 $\beta$ を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式は

${\displaystyle \left|z-\alpha \right|=\left|z-\beta \right|}$   ･･････(1)

となる．

点 $\beta$ と点 $\gamma$ を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式は

${\displaystyle \left|z-\beta \right|=\left|z-\gamma \right|}$   ･･････(2)

となる．

(1)の直線の方程式の一般形を求める．

${\displaystyle \left|z-\left(2+5i\right)\right|=\left|z-3i\right|}$

両辺を2乗する．

${\displaystyle {\left|z-\left(2+5i\right)\right|}^2={\left|z-3i\right|}^2}$

${\displaystyle {\left|z\right|}^2=z\overline{z}}$ の性質を使って式を変形する．

${\displaystyle \left\{z-\left(2+5i\right)\right\}\overline{\left\{z-\left(2+5i\right)\right\}}}$ ${\displaystyle =\left(z-3i\right)\overline{\left(z-3i\right)}}$

${\displaystyle \overline{\alpha +\beta }=\overline{\alpha }+\overline{\beta }}$ の性質を用いて式を変形する．

(2)の直線の方程式の一般形を求める．

(3)，(4)の連立方程式を解いて， $z$ を求める．

(3)−(4)× ${\displaystyle \left(1+i\right)}$

以上より

${\displaystyle \omega =3+2i}$

である．

●別解

点 $\alpha$ ，点 ${\displaystyle \beta }$ ，点 ${\displaystyle \gamma }$ ，点 $\omega$ の関係を式で表すと

${\displaystyle \left|\omega -\alpha \right|=\left|\omega -\beta \right|=\left|\omega -\gamma \right|}$   ･･････(5)

となる．

(5)の方程式を以下のように2つに分ける．

${\displaystyle \left|\omega -\alpha \right|=\left|\omega -\beta \right|}$   ･･････(6)

${\displaystyle \left|\omega -\beta \right|=\left|\omega -\gamma \right|}$   ･･････(7)

ここで

${\displaystyle \omega =a+bi}$    ただし， $a$ ， $b$ は実数   ･･････(8)

とおいて，(6)，(7)を満たす $\omega$ を求める．

(6)に(8)と ${\displaystyle \alpha =2+5i}$ ， ${\displaystyle \beta =3i}$ を代入する．

${\displaystyle \left|a+bi-\left(2+5i\right)\right|}$ ${\displaystyle =\left|a+bi-3i\right|}$

${\displaystyle \left|a-2+\left(b-5\right)i\right|}$ ${\displaystyle =\left|a+\left(b-3\right)i\right|}$

両辺を2乗する．

${\displaystyle {\left|a-2+\left(b-5\right)i\right|}^2}$ ${\displaystyle ={\left|a+\left(b-3\right)i\right|}^2}$

$z^2=z\overline{z}$ より（複素数の絶対値を参照）

${\displaystyle \left\{a-2+\left(b-5\right)i\right\}\overline{\left\{a-2+\left(b-5\right)i\right\}}}$ ${\displaystyle =\left\{a+\left(b-3\right)i\right\}\overline{\left\{a+\left(b-3\right)i\right\}}}$

${\displaystyle \left\{a-2+\left(b-5\right)i\right\}\left\{a-2-\left(b-5\right)i\right\}}$ ${\displaystyle =\left\{a+\left(b-3\right)i\right\}\left\{a+\left(b-3\right)i\right\}}$

${\displaystyle {\left(a-2\right)}^2-{\left\{\left(b-5\right)i\right\}}^2}$ ${\displaystyle =a^2-{\left\{\left(b-3\right)i\right\}}^2}$

${\displaystyle {\left(a-2\right)}^2+{\left(b-5\right)}^2}$ ${\displaystyle =a^2+{\left(b-3\right)}^2}$

${\displaystyle a^2-4a+4+b^2-10b+25}$ ${\displaystyle =a^2+b^2-6b+9}$

${\displaystyle -4a-4b+20=0}$

${\displaystyle a+b-5=0}$   ･･････(9)

(7)に(8)と ${\displaystyle \beta =3i}$ ， ${\displaystyle \gamma =6+3i}$ を代入する．

${\displaystyle \left|a+bi-3i\right|}$ ${\displaystyle =\left|a+bi-\left(6+3i\right)\right|}$

${\displaystyle \left|a+\left(b-3\right)i\right|}$ ${\displaystyle =\left|a-6+\left(b-3\right)i\right|}$

両辺を2乗する．

${\displaystyle {\left|a+\left(b-3\right)i\right|}^2}$ ${\displaystyle ={\left|a-6+\left(b-3\right)i\right|}^2}$

$z^2=z\overline{z}$ より（複素数の絶対値を参照）

${\displaystyle \left\{a+\left(b-3\right)i\right\}\overline{\left\{a+\left(b-3\right)i\right\}}}$ ${\displaystyle =\left\{a-6+\left(b-3\right)i\right\}\overline{\left\{a-6+\left(b-3\right)i\right\}}}$

${\displaystyle \left\{a+\left(b-3\right)i\right\}\left\{a-\left(b-3\right)i\right\}}$ ${\displaystyle =\left\{a-6+\left(b-3\right)i\right\}\left\{a-6-\left(b-3\right)i\right\}}$

${\displaystyle a^2-{\left\{\left(b-3\right)i\right\}}^2}$ ${\displaystyle ={\left(a-6\right)}^2-{\left\{\left(b-3\right)i\right\}}^2}$

${\displaystyle a^2+{\left(b-3\right)}^2}$ ${\displaystyle ={\left(a-6\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2}$

${\displaystyle a^2={\left(a-6\right)}^2}$

${\displaystyle a^2=a^2-12a+36}$

${\displaystyle 12a=36}$

${\displaystyle a=3}$   ･･････(10)

(10)を(9)に代入する．

${\displaystyle 3+b-5=0}$

${\displaystyle b=2}$

以上より

${\displaystyle \omega =3+2i}$

である．

 

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最終更新日：2026年7月14日