複素数の計算

■問題

２つの問題の解(問題1，問題２)を利用して， ${\displaystyle \left(1+\sqrt{3}i\right)\left(1-i\right)}$ を極形式で示せ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)}$

■解説

問題を解く前に，極形式とは何かを理解する．　⇒複素平面

  ${\displaystyle 1+\sqrt{3}i}$ の極形式は問題１より

${\displaystyle 1+\sqrt{3}i}$ ${\displaystyle =2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}$

${\displaystyle 1-i}$ の極形式は問題２より

${\displaystyle 1-i}$ ${\displaystyle =\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right\}}$

である．よって，与式は

${\displaystyle \left(1+\sqrt{3}i\right)\left(1-i\right)}$

${\displaystyle =2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}$ ${\displaystyle \times \sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right\}}$

ここで複素数の積の公式を用いる．

 

 

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最終更新日： 2026年5月25日